Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi } E \text{ là trung điểm của } OA. \text{ Vì nửa đường tròn có đường kính } OA \text{ nên } E \text{ là tâm của nửa đường tròn này.} \\
& \text{Bán kính nửa đường tròn là } r = OE = \dfrac{OA}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ (cm)}. \\
& \text{Vì } BY \text{ là tiếp tuyến của nửa đường tròn } (E) \text{ tại } X \text{ nên } EX \perp BY \text{ tại } X. \\
& \text{Xét } \Delta OBE \text{ vuông tại } O \text{, áp dụng định lý Pythagore, ta có:} \\
& BE^2 = OB^2 + OE^2 = 10^2 + 5^2 = 125. \\
& \text{Xét } \Delta BXE \text{ vuông tại } X \text{, áp dụng định lý Pythagore, ta có:} \\
& BX = \sqrt{BE^2 - EX^2} = \sqrt{125 - 5^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ (cm)}. \\
& \text{Xét hai tam giác vuông } \Delta OBE \text{ và } \Delta XBE \text{ có:} \\
& \begin{cases} BE \text{ là cạnh huyền chung} \\ OE = EX = 5 \text{ (cm)} \end{cases} \\
& \Rightarrow \Delta OBE = \Delta XBE \text{ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).} \\
& \Rightarrow \widehat{OBE} = \widehat{XBE}. \text{ Đặt } \widehat{OBE} = \alpha \Rightarrow \widehat{OBY} = 2\alpha. \\
& \text{Trong } \Delta OBE \text{ vuông tại } O \text{, ta có:} \\
& \sin \alpha = \dfrac{OE}{BE} = \dfrac{5}{5\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} ; \quad \cos \alpha = \dfrac{OB}{BE} = \dfrac{10}{5\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}. \\
& \Rightarrow \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}. \\
& \text{Kẻ } OK \perp BY \text{ tại } K. \text{ Trong } \Delta OBK \text{ vuông tại } K \text{, ta có:} \\
& BK = OB \cdot \cos(\widehat{OBK}) = 10 \cdot \cos(2\alpha) = 10 \cdot \dfrac{3}{5} = 6 \text{ (cm)}. \\
& \text{Mặt khác, } Y \text{ thuộc cung tròn tâm } O \text{ bán kính } OA = 10 \text{ cm nên } Y \text{ nằm trên đường tròn } (O). \\
& \text{Đường thẳng } BY \text{ cắt đường tròn } (O) \text{ tại } B \text{ và } Y \text{ nên } BY \text{ là một dây cung.} \\
& \text{Vì } OK \perp BY \text{ nên } K \text{ là trung điểm của dây cung } BY. \\
& \Rightarrow BY = 2 \cdot BK = 2 \cdot 6 = 12 \text{ (cm)}. \\
& \text{Trên tia } BY \text{, ta có } BX = 10 \text{ cm} < BY = 12 \text{ cm} \text{ nên điểm } X \text{ nằm giữa } B \text{ và } Y. \\
& \text{Vậy độ dài đoạn } XY \text{ là: } XY = BY - BX = 12 - 10 = 2 \text{ (cm)}.
\end{aligned}$