Làm 1 trong 2 câu cũng được ạ. Câu 2 chỉ cần tìm max

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Câu 1:} \\
& xf(x+y)(yf(x)+2025)=2025 \\
& yf(x)+2025 = \dfrac{2025}{xf(x+y)} \\
& xyf(x)+2025x = \dfrac{2025}{f(x+y)} \\
& \text{Biểu thức } x+y \text{ có tính đối xứng với } x, y \text{ nên } \dfrac{2025}{f(x+y)} \text{ mang tính đối xứng với } x, y \\
& xyf(x)+2025x = xyf(y)+2025y \\
& xy(f(x)-f(y)) = 2025(y-x) \\
& f(x)-f(y) = 2025\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right) \\
& f(x)-\dfrac{2025}{x} = f(y)-\dfrac{2025}{y} = k \text{ (với } k \text{ là hằng số)} \\
& f(x) = \dfrac{2025}{x}+k \\
& \dfrac{2025}{f(x+y)} = xy\left(\dfrac{2025}{x}+k\right)+2025x \\
& \dfrac{2025}{f(x+y)} = 2025y+kxy+2025x \\
& f(x+y) = \dfrac{2025}{2025(x+y)+kxy} \\
& f(x+y) = \dfrac{2025}{x+y}+k = \dfrac{2025+k(x+y)}{x+y} \\
& \dfrac{2025}{2025(x+y)+kxy} = \dfrac{2025+k(x+y)}{x+y} \\
& 2025(x+y) = (2025(x+y)+kxy)(2025+k(x+y)) \\
& 2025(x+y) = 2025^2(x+y) + 2025k(x+y)^2 + 2025kxy + k^2xy(x+y) \\
& 2025 = 2025^2 \text{ (vô lý khi đồng nhất hệ số của } x+y \text{ ở hai vế)} \\
& \text{Không tồn tại hàm số } f \text{ thỏa mãn yêu cầu bài toán} \\
& \text{Câu 2:} \\
& \text{Giả sử } c = \min(a,b,c) \\
& c \le \dfrac{a+b+c}{3} = 1 \\
& 1-c \ge 0 \\
& P = c(a+b) + ab(1-c) \\
& c(a+b) \ge 0 \\
& ab(1-c) \ge 0 \\
& P \ge 0 \\
& \text{Dấu bằng xảy ra khi } c=0 \text{ và } ab=0 \\
& \text{Giá trị nhỏ nhất của } P \text{ là } 0 \text{ tại } (3; 0; 0) \text{ và các hoán vị} \\
& ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{(3-c)^2}{4} \\
& ab(1-c) \le \dfrac{(3-c)^2}{4}(1-c) \\
& P \le \dfrac{(3-c)^2(1-c)}{4} + c(3-c) \\
& P \le \dfrac{(3-c)[(3-c)(1-c)+4c]}{4} \\
& P \le \dfrac{(3-c)(3-4c+c^2+4c)}{4} \\
& P \le \dfrac{(3-c)(c^2+3)}{4} \\
& \dfrac{(3-c)(c^2+3)}{4} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{3c^2+9-c^3-3c-9}{4} \\
& \dfrac{(3-c)(c^2+3)}{4} - \dfrac{9}{4} = \dfrac{-c(c^2-3c+3)}{4} \\
& c^2-3c+3 = \left(c-\dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0 \\
& -c(c^2-3c+3) \le 0 \\
& \dfrac{(3-c)(c^2+3)}{4} \le \dfrac{9}{4} \\
& P \le \dfrac{9}{4} \\
& \text{Dấu bằng xảy ra khi } c=0 \text{ và } a=b \text{ nên } a=b=\dfrac{3}{2} \\
& \text{Giá trị lớn nhất của } P \text{ là } \dfrac{9}{4} \text{ tại } \left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{3}{2}; 0\right) \text{ và các hoán vị}
\end{aligned}$