Gọi $I$ là trung điểm $DC$. Do đường tròn $(O, R)$ nội tiếp hình vuông $ABCD$ $\Rightarrow (O)$ tiếp xúc với $DC$ tại $I$ $\Rightarrow OI \perp DC$ và $DI$ là tiếp tuyến của $(O)$.

$M, N \in (O) \cap (I) \Rightarrow OM = IM = OI = R \Rightarrow \Delta OIM$ đều $\Rightarrow \widehat{MOI} = 60^\circ$.

Tương tự $\widehat{NOI} = 60^\circ \Rightarrow \widehat{MON} = 120^\circ$.

Xét $\Delta OMN$ cân tại $O \Rightarrow MN = 2 \cdot OM \cdot \sin\left(\dfrac{120^\circ}{2}\right) = R\sqrt{3}$.

Ta có $\widehat{OID} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{DIM} = \widehat{OID} - \widehat{OIM} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Xét $\Delta DIM$ có $DI = IM = R \Rightarrow \Delta DIM$ cân tại $I \Rightarrow \widehat{IDM} = \widehat{IMD} = \dfrac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ$.

Xét $\Delta DMI$ và $\Delta DIP$:

$\begin{cases} \widehat{IDP} \text{ chung} \\ \widehat{DIM} = \widehat{DPI} = 30^\circ \text{ (góc tạo bởi tiếp tuyến } DI \text{ và dây cung } IM \text{ = góc nội tiếp chắn cung } IM) \end{cases}$

$\Rightarrow \Delta DMI \sim \Delta DIP \text{ (g.g)}$

$\Rightarrow \widehat{DIP} = \widehat{DMI} = 75^\circ$.

$\Rightarrow \widehat{MIP} = \widehat{DIP} - \widehat{DIM} = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ$.

Trong đường tròn $(O)$, góc nội tiếp $\widehat{MIP} = 45^\circ \Rightarrow \text{sđ} \overset{\frown}{MP} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{MOP} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \widehat{IOP} = \widehat{IOM} + \widehat{MOP} = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$.

Do tính đối xứng qua trục $OI \Rightarrow \widehat{IOQ} = 150^\circ$.

$\Rightarrow \widehat{POQ} = 360^\circ - \left(\widehat{IOP} + \widehat{IOQ}\right) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$.

Xét $\Delta OPQ$ có:

$\begin{cases} OP = OQ = R \\ \widehat{POQ} = 60^\circ \end{cases} \Rightarrow \Delta OPQ \text{ đều} \Rightarrow PQ = R$.

Vậy $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{R\sqrt{3}}{R} = \sqrt{3}$.