Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Câu 4:} \\
& \text{Gọi } M \text{ là biến cố kỹ sư mắc hội chứng mỏi mắt, } P(M) = 0,4 \\
& \text{Gọi } S \text{ là biến cố kỹ sư bị stress, } P(S) = 0,3 \\
& \text{Xác suất kỹ sư bị mỏi mắt với điều kiện bị stress là } P(M|S) = 0,8 \\
& \text{a) Xác suất chọn được kỹ sư bị stress là } 0,3 \\
& P(S) = 0,3 \text{ (Mệnh đề đúng)} \\
& \text{b) Xác suất chọn được kỹ sư bị mỏi mắt, biết người đó bị stress là } 0,7 \\
& P(M|S) = 0,8 \neq 0,7 \text{ (Mệnh đề sai)} \\
& \text{c) Xác suất chọn được kỹ sư vừa bị stress vừa bị mỏi mắt là } 0,24 \\
& P(M \cap S) = P(M|S) \cdot P(S) \\
& P(M \cap S) = 0,8 \cdot 0,3 = 0,24 \text{ (Mệnh đề đúng)} \\
& \text{d) Xác suất chọn được kỹ sư bị stress, với điều kiện người đó đã bị mỏi mắt là } 0,6 \\
& P(S|M) = \dfrac{P(M \cap S)}{P(M)} \\
& P(S|M) = \dfrac{0,24}{0,4} = 0,6 \text{ (Mệnh đề đúng)} \\
& \text{Câu 1:} \\
& \text{Mặt cầu } (S) \text{ có tâm } I(1; -1; 2) \text{ và bán kính } R = \sqrt{4} = 2 \\
& \text{Gọi } d(I, (P)) \text{ là khoảng cách từ tâm } I \text{ đến mặt phẳng } (P) \\
& d(I, (P)) = \dfrac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 + 15|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \\
& d(I, (P)) = \dfrac{|1 - 2 - 4 + 15|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} \\
& d(I, (P)) = \dfrac{|10|}{\sqrt{9}} = \dfrac{10}{3} \\
& \text{Gọi } d_{min} \text{ là khoảng cách ngắn nhất từ mặt cầu } (S) \text{ đến mặt phẳng } (P) \\
& d_{min} = d(I, (P)) - R \\
& d_{min} = \dfrac{10}{3} - 2 = \dfrac{4}{3} \\
& \text{Câu 2:} \\
& \text{Số lượng quả cầu trong hộp sau khi rút quả đầu tiên màu đỏ là } 5 + 3 - 1 = 7 \text{ (quả)} \\
& \text{Số lượng quả cầu màu đỏ còn lại trong hộp là } 5 - 1 = 4 \text{ (quả)} \\
& \text{Gọi } P \text{ là xác suất quả cầu thứ hai rút ra màu đỏ với điều kiện quả đầu màu đỏ} \\
& P = \dfrac{4}{7} \\
& \text{Câu 3:} \\
& \text{Gọi } V \text{ là tổng lượng nước xả vào bể sau } 5 \text{ phút} \\
& V = \int_{0}^{5} v(t) dt \\
& V = \int_{0}^{5} (2t^2 + 26) dt \\
& V = \left( \dfrac{2}{3}t^3 + 26t \right) \Bigg|_{0}^{5} \\
& V = \left( \dfrac{2}{3} \cdot 5^3 + 26 \cdot 5 \right) - 0 \\
& V = \dfrac{250}{3} + 130 \\
& V = \dfrac{250 + 390}{3} \\
& V = \dfrac{640}{3} \approx 213,3 \\
& \text{Câu 4:} \\
& \text{Phương trình có dạng } x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \text{ với } a = 2, b = -1, c = -4, d = m \\
& \text{Điều kiện để phương trình là mặt cầu là } a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \\
& 2^2 + (-1)^2 + (-4)^2 - m > 0 \\
& 4 + 1 + 16 - m > 0 \\
& 21 - m > 0 \\
& m < 21 \\
& \text{Do } m \text{ là số nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện} \\
& m = 20 \\
& \text{Câu 5:} \\
& \text{Gọi } \Omega \text{ là không gian mẫu khi lấy ngẫu nhiên } 4 \text{ viên bi từ } 12 \text{ viên bi} \\
& n(\Omega) = C_{12}^4 = 495 \\
& \text{Gọi } A \text{ là biến cố lấy được ít nhất } 1 \text{ viên bi Đỏ} \\
& \text{Biến cố đối } \overline{A} \text{ là lấy } 4 \text{ viên bi không có màu Đỏ (lấy từ } 4 \text{ Xanh và } 3 \text{ Vàng, tổng } 7 \text{ viên)} \\
& n(\overline{A}) = C_7^4 = 35 \\
& n(A) = n(\Omega) - n(\overline{A}) = 495 - 35 = 460 \\
& \text{Gọi } B \text{ là biến cố lấy được đúng } 2 \text{ viên bi Đỏ} \\
& \text{Số cách lấy đúng } 2 \text{ viên bi Đỏ và } 2 \text{ viên bi khác màu Đỏ là} \\
& n(B) = C_5^2 \cdot C_7^2 = 10 \cdot 21 = 210 \\
& \text{Xác suất cần tìm là xác suất có điều kiện } P(B|A) \\
& P(B|A) = \dfrac{n(B)}{n(A)} = \dfrac{210}{460} = \dfrac{21}{46} \\
& \text{Phân số tối giản có } a = 21, b = 46 \\
& a + b = 21 + 46 = 67 \\
& \text{Câu 6:} \\
& \text{Hai véc-tơ } \vec{u} \text{ và } \vec{v} \text{ cùng phương khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng tỉ lệ với nhau} \\
& \dfrac{4}{1} = \dfrac{m}{-2} = \dfrac{n}{3} \\
& m = 4 \cdot (-2) = -8 \\
& n = 4 \cdot 3 = 12 \\
& T = m + n = -8 + 12 = 4
\end{aligned}$