Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Áp dụng định lý Vi-et:} \\
& x_1 + x_2 = -8 \\
& x_1x_2 = -12 \\
& \text{Ta có:} \\
& x_1 = \dfrac{(x_1+x_2) + (x_1-x_2)}{2} \\
& x_1 = \dfrac{-8 + (x_1-x_2)}{2} \\
& x_1 = \dfrac{x_1-x_2-8}{2} \\
& x_2 = \dfrac{(x_1+x_2) - (x_1-x_2)}{2} \\
& x_2 = \dfrac{-8 - (x_1-x_2)}{2} \\
& x_2 = \dfrac{-(x_1-x_2)-8}{2} \\
& \text{Thế vào hạng tử chứa căn của } A\text{:} \\
& x_1 + 2 = \dfrac{x_1-x_2-8}{2} + 2 \\
& x_1 + 2 = \dfrac{x_1-x_2-4}{2} \\
& 4 - x_2 = 4 - \dfrac{-(x_1-x_2)-8}{2} \\
& 4 - x_2 = \dfrac{8 + (x_1-x_2) + 8}{2} \\
& 4 - x_2 = \dfrac{x_1-x_2+16}{2} \\
& (x_1+2)\sqrt{4-x_2} = \left(\dfrac{x_1-x_2-4}{2}\right)\sqrt{\dfrac{x_1-x_2+16}{2}} \\
& \text{Vì } x_1 \text{ là nghiệm của phương trình nên:} \\
& x_1^2 + 8x_1 - 12 = 0 \\
& x_1^2 = 12 - 8x_1 \\
& \text{Ta có:} \\
& x_1^3 = x_1(12 - 8x_1) \\
& x_1^3 = 12x_1 - 8x_1^2 \\
& x_1^3 = 12x_1 - 8(12 - 8x_1) \\
& x_1^3 = 12x_1 - 96 + 64x_1 \\
& x_1^3 = 76x_1 - 96 \\
& x_1^3 + 6x_2 = (76x_1 - 96) + 6(-8 - x_1) \\
& x_1^3 + 6x_2 = 76x_1 - 96 - 48 - 6x_1 \\
& x_1^3 + 6x_2 = 70x_1 - 144 \\
& \text{Mà:} \\
& 70x_1 - 144 = 70\left(\dfrac{x_1-x_2-8}{2}\right) - 144 \\
& 70x_1 - 144 = 35(x_1-x_2) - 280 - 144 \\
& 70x_1 - 144 = 35(x_1-x_2) - 424 \\
& \text{Biểu thức } A \text{ theo } x_1 - x_2\text{:} \\
& A = \dfrac{x_1-x_2-4}{2}\sqrt{\dfrac{x_1-x_2+16}{2}} + 35(x_1-x_2) - 424 \\
& \text{Tính bình phương của hiệu } x_1 - x_2\text{:} \\
& (x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 \\
& (x_1-x_2)^2 = (-8)^2 - 4(-12) \\
& (x_1-x_2)^2 = 64 + 48 \\
& (x_1-x_2)^2 = 112 \\
& \text{Trường hợp 1: Nếu } x_1 - x_2 = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \\
& A = \dfrac{4\sqrt{7}-4}{2}\sqrt{\dfrac{4\sqrt{7}+16}{2}} + 35(4\sqrt{7}) - 424 \\
& A = (2\sqrt{7}-2)\sqrt{2\sqrt{7}+8} + 140\sqrt{7} - 424 \\
& \text{Biến đổi căn bậc hai kép:} \\
& \sqrt{2\sqrt{7}+8} = \sqrt{7 + 2\sqrt{7} + 1} \\
& \sqrt{2\sqrt{7}+8} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} \\
& \sqrt{2\sqrt{7}+8} = \sqrt{7}+1 \\
& \text{Thế vào } A\text{:} \\
& A = (2\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+1) + 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = 2(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1) + 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = 2(7-1) + 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = 12 + 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = 140\sqrt{7} - 412 \\
& \text{Trường hợp 2: Nếu } x_1 - x_2 = -\sqrt{112} = -4\sqrt{7} \\
& A = \dfrac{-4\sqrt{7}-4}{2}\sqrt{\dfrac{-4\sqrt{7}+16}{2}} + 35(-4\sqrt{7}) - 424 \\
& A = (-2\sqrt{7}-2)\sqrt{-2\sqrt{7}+8} - 140\sqrt{7} - 424 \\
& \text{Biến đổi căn bậc hai kép:} \\
& \sqrt{-2\sqrt{7}+8} = \sqrt{7 - 2\sqrt{7} + 1} \\
& \sqrt{-2\sqrt{7}+8} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} \\
& \sqrt{-2\sqrt{7}+8} = \sqrt{7}-1 \\
& \text{Thế vào } A\text{:} \\
& A = (-2\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}-1) - 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = -2(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1) - 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = -2(7-1) - 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = -12 - 140\sqrt{7} - 424 \\
& A = -140\sqrt{7} - 436 \\
& \text{Kết quả:} \\
& A = 140\sqrt{7} - 412 \text{ hoặc } A = -140\sqrt{7} - 436
\end{aligned}$