Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO$ là trung trực $BC$

$\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$

Mặt khác $AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \Delta AOB$ vuông tại $B, BH\perp AO$

$\to BH^2=HA\cdot HO$

$\to 4BH^2=4HA\cdot HO$

$\to (2BH)^2=2HA\cdot 2HO$

$\to 4BH^2=2HA\cdot 2HO$

Ta có:

$O, H$ là trung điểm $BS, BC$

$\to OH$ là đường trung bình $\Delta BCS$

$\to SC=2OH$

$\to 4BH^2=2HA\cdot CS$

b.Ta có: $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Do $I\in AO$

$\to IB=IC$

$\to \Delta IBC$ cân tại $I$

$\to \widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

Mà $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{IBA}=\widehat{ICB}=\widehat{IBC}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

Do $I\in AH\to AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

Do $AH\perp BC\to IH\perp BC$

$\to IH=r$

$\to OH=IO-IH=R-r$

$\to CS=2OH=2(R-r)$

c.Gọi $AF\cap HD=J, G$ là trung điểm $BD$

Vì $H$ là trung điểm $BC$

$\to HG$ là đường trung bình $\Delta BCD$

$\to HG//CD$

Ta có:

$HD//OB(\perp AB)$

$F$ là trung điểm $OB\to FB=FO$

$\to \dfrac{JD}{BF}=\dfrac{AJ}{AF}=\dfrac{HJ}{OF}$

$\to JD=JH$

$\to J$ là trung điểm $HD$

$\to JG$ là đường trung bình $\Delta HDB$

$\to JG//BH$

Mà $BH\perp AH$

$\to GJ\perp AH$

Do $HD\perp AB\to HJ\perp AG$

$\to J$ là trực tâm $\Delta AGH$

$\to AJ\perp GH$

$\to AJ\perp DC$ vì $GH//DC$

$\to \widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o$

$\to A, C, H, E\in$ đường tròn đường kính $AC$