Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AEC,\Delta ABD$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEC}=\widehat{ADB}(=90^o)$

$\to \Delta AEC\sim\Delta ADB(g.g)$

b.Xét $\Delta BEH,\Delta BDA$ có:
Chung $\hat B$

$\widehat{BEH}=\widehat{BDA}(=90^o)$

$\to \Delta BEH\sim\Delta BDA(g.g)$

$\to \dfrac{BE}{BD}=\dfrac{BH}{BA}$

$\to BH.BD=BE.BA$

c.Từ a $\to \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$

Xét $\Delta ADE,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$ \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}$

$\to \Delta ADE\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \widehat{ADE}=\widehat{ABC}$

Vì $BD\perp AC, CE\perp AB, BD\cap CE=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC$

$\to \widehat{AHE}=90^o-\widehat{HAE}=\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$

d.Vì $\Delta AHE,\Delta AHD$ vuông tại $E, D$

      $M$ là trung điểm $AH$

$\to ME=MA=MH=\dfrac12AH, MD=MA=MH=\dfrac12AH$
$\to ME=MD$

Tương tự: $NE=ND$

$\to M, N\in$ trung trực $DE$
$\to MN$ là trung trực $DE$