Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có: $\Delta_1: \dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z}{1}$

$\Rightarrow \Delta_1$ đi qua $(-1; -2; 0)$ và có vector chỉ phương là $(1; 2; 1)$

$\Rightarrow \Delta_1: \begin {cases} x = -1 + t  \\ y = -2 + 2t \\ z = t \end {cases}$

$\Rightarrow A(-1 + t; -2 + 2t; t)$

Ta có: $\Delta_2: \dfrac{x - 2}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z - 1}{1}$

$\Rightarrow \Delta_1$ đi qua $(2; 1; 1)$ và có vector chỉ phương là $(2; 1; 1)$

$\Rightarrow \Delta_2: \begin {cases} x = 2 + 2t'  \\ y = 1 + t' \\ z =1 + t' \end {cases}$

$\Rightarrow B(2 + 2t'; 1 + t'; 1 + t')$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (3 + 2t' - t; 3 + t' - 2t; 1 + t' - t)$

Mà $AB // (P): x + y - 2z + 5 = 0$ và $(P)$ có vector pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; 1; -2)$

$\Rightarrow AB \cdot \overrightarrow{n} = 3 + 2t' - t + 3 + t' - 2t - 2(1 + t' - t) = 0$

$\Leftrightarrow 6 + 3t' - 3t - 2 - 2t' + 2t = 0$

$\Leftrightarrow t' - t + 4 = 0$

$\Leftrightarrow t' = t - 4$

Thay $t' = t - 4$ vào $\overrightarrow{AB}$, ta có:

$\overrightarrow{AB} = (3 + 2t - 8 - t; 3 + t - 4 - 2t; 1 + t - 4 - t) = (t - 5; -t - 1; -3)$

$\Rightarrow AB^2 = (t - 5)^2 + (-t - 1)^2 + (-3)^2 = 2t^2 - 8t + 35$

Đặt $f(t) = 2t^2 - 8t + 35 \Rightarrow f'(t) = 4t - 8$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Do $f(t) = at^2 + bt + c$ với $a = 2 >0$ nên $f(2)$ là GTNN của $f(t)$

$\Rightarrow AB^2_{\rm min} = f(2) = 27$

$\Rightarrow AB_{\rm min} = 3\sqrt{3}$

Vậy $AB_{\rm min} = 3\sqrt{3}$