$\textit{a) }$

$\textit{ $\triangle$DEF cân tại D nên DE = DF và $\widehat{AEF}$ = $\widehat{BFE}$ }$

$\textit{Mà A trung điểm DE, B trung điểm DF}$

$\textit{Nên DA=EA=DB=FB (=$\frac{1}{2}$ DE = $\frac{1}{2}$  DF}$

$\textit{Xét $\triangle$EAF và $\triangle$ FBE có: }$

$\textit{AE = BF (cmt)}$

$\textit{$\widehat{AEF}$ = $\widehat{BFE}$ (cmt)}$

$\textit{EF chung}$

$\textit{Suy ra $\triangle$EAF = $\triangle$ FBE (c.g.c)}$

$\textit{b)Vì DA = DB (cmt) nên  $\triangle$ DAB cân tại D}$

$\textit{Suy ra $\widehat{DAB}$ = }$

$\textit{$\widehat{DAB}$ + $\widehat{DBA}$ + $\widehat{ADB}$ = $180^{o}$ (tổng 3 góc trong tam giác}$

$\textit{Hay 2$\widehat{DAB}$ + $\widehat{D}$ = $180^{o}$ (1)}$

$\textit{$\triangle$ DEF có: $\widehat{DEF}$ + $\widehat{DFE}$ + $\widehat{ADB}$ = $180^{o}$ (tổng 3 góc trong tam giác}$

$\textit{Hay 2$\widehat{DEF}$ + $\widehat{D}$ = $180^{o}$ (2)}$

$\textit{Từ (1), (2) suy ra 2$\widehat{DEF}$ = 2$\widehat{DAB}$ hay $\widehat{DEF}$ = $\widehat{DAB}$}$

$\textit{Mà đây là 2 góc đồng vị}$

$\textit{Nên AB $\parallel$ EF}$

$\textit{c) Có $\triangle$EAF = $\triangle$ FBE (câu a)}$

$\textit{Nên $\widehat{AFE}$ = $\widehat{BEF}$ (2 góc tương ứng)}$

$\textit{Hay $\widehat{OEF}$ = $\widehat{OFE}$}$

$\textit{Suy ra $\triangle$ EOF cân tại O}$

$\textit{Nên OE=OF}$

$\textit{Mà BE = AF (2 cạnh tương ứng)}$

$\textit{Nên BE - OE = AF - OF hay OA = OB}$

$\textit{d) Xét $\triangle$EOF cân tại O có OI là phân giác }$

$\textit{Suy ra OI cũng là trung tuyến}$

$\textit{Nên I là trung điểm EF}$

$\textit{$\triangle$EDF cân tại D có DI là trung tuyến (I là trung điểm EF) }$

$\textit{Nên DI cũng là đường cao hay DI ⊥ EF}$

$\textit{Vì C là trung điểm AB nên DC là trung tuyến $\triangle$ADB}$

$\textit{Nên DC cũng là phân giác $\triangle$ADB}$

$\textit{Hay $\widehat{EDC}$ = $\widehat{FDC}$}$

$\textit{Chứng minh $\triangle$EDC = $\triangle$FDC (c.g.c)}$

$\textit{Nên CE=CF}$

$\textit{Có IE=IF nên I thuộc đường trung trực của EF}$

$\textit{Có CE=CF (cmt) nên C thuộc đường trung trực của EF}$

$\textit{Có DE=DF (tam giác EDF cân tại D) nên D thuộc đường trung trực của EF}$

$\textit{Nên D, C, I thẳng hàng}$

Xin hay nhất ạ