Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường } y = |x^2 - 1| \text{ và } y = k \text{:} \\
& |x^2 - 1| = k \\
& \left[ \begin{array}{l} x^2 - 1 = k \\ x^2 - 1 = -k \end{array} \right. \\
& \left[ \begin{array}{l} x^2 = 1 + k \\ x^2 = 1 - k \end{array} \right. \\
& \left[ \begin{array}{l} x = \pm\sqrt{1 + k} \\ x = \pm\sqrt{1 - k} \end{array} \right. \\
& \text{Gọi } S_1 \text{ là diện tích hình phẳng được kẻ sọc, giới hạn bởi } y = 1 - x^2 \text{ và } y = k \text{ trên đoạn } \left[-\sqrt{1 - k}; \sqrt{1 - k}\right] \\
& S_1 = \int_{-\sqrt{1 - k}}^{\sqrt{1 - k}} (1 - x^2 - k) dx \\
& S_1 = 2 \int_{0}^{\sqrt{1 - k}} (1 - k - x^2) dx \\
& S_1 = 2 \left[ (1 - k)x - \dfrac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{1 - k}} \\
& S_1 = 2 \left( (1 - k)\sqrt{1 - k} - \dfrac{(1 - k)\sqrt{1 - k}}{3} \right) \\
& S_1 = \dfrac{4}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} \\
& \text{Gọi } S_2 \text{ là tổng diện tích hai phần hình phẳng còn lại của (H), giới hạn bởi } y = k \text{ và } y = |x^2 - 1| \text{ trên } \left[-\sqrt{1 + k}; -\sqrt{1 - k}\right] \text{ và } \left[\sqrt{1 - k}; \sqrt{1 + k}\right] \\
& \text{Do tính đối xứng qua trục tung, } S_2 \text{ bằng hai lần diện tích phần hình phẳng trên đoạn } \left[\sqrt{1 - k}; \sqrt{1 + k}\right] \\
& S_2 = 2 \int_{\sqrt{1 - k}}^{\sqrt{1 + k}} (k - |x^2 - 1|) dx \\
& S_2 = 2 \left( \int_{\sqrt{1 - k}}^{1} (k - (1 - x^2)) dx + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}} (k - (x^2 - 1)) dx \right) \\
& S_2 = 2 \left( \int_{\sqrt{1 - k}}^{1} (k - 1 + x^2) dx + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}} (k + 1 - x^2) dx \right) \\
& S_2 = 2 \left( \left[ (k - 1)x + \dfrac{x^3}{3} \right]_{\sqrt{1 - k}}^{1} + \left[ (k + 1)x - \dfrac{x^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{1 + k}} \right) \\
& S_2 = 2 \left( k - 1 + \dfrac{1}{3} - \left( (k - 1)\sqrt{1 - k} + \dfrac{(1 - k)\sqrt{1 - k}}{3} \right) + (k + 1)\sqrt{1 + k} - \dfrac{(1 + k)\sqrt{1 + k}}{3} - \left( k + 1 - \dfrac{1}{3} \right) \right) \\
& S_2 = 2 \left( k - \dfrac{2}{3} + (1 - k)\sqrt{1 - k} - \dfrac{1 - k}{3}\sqrt{1 - k} + \dfrac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - k - \dfrac{2}{3} \right) \\
& S_2 = 2 \left( \dfrac{2}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + \dfrac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - \dfrac{4}{3} \right) \\
& S_2 = \dfrac{4}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + \dfrac{4}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - \dfrac{8}{3} \\
& \text{Gọi } S \text{ là diện tích toàn bộ hình phẳng (H)} \\
& S = S_1 + S_2 \\
& \text{Diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc} \\
& S = 2S_1 \\
& S_1 + S_2 = 2S_1 \\
& S_2 = S_1 \\
& \dfrac{4}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + \dfrac{4}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} \\
& \dfrac{4}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - \dfrac{8}{3} = 0 \\
& (1 + k)\sqrt{1 + k} = 2 \\
& (\sqrt{1 + k})^3 = 2 \\
& \sqrt{1 + k} = \sqrt[3]{2} \\
& 1 + k = \sqrt[3]{4} \\
& k = \sqrt[3]{4} - 1 \\
& \text{Kết quả: } k = \sqrt[3]{4} - 1
\end{aligned}$