`a)`

Vì `triangleABC` đều nên `AB=BC=CA`

Mà `AM=BN=CP` (giả thiết)

`=> MB=AB-AM`

`=> NC=BC-BN`

`=> PA=CA-CP`

Do đó, `MB=NC=PA`

Xét `3` tam giác `AMP;BMN;CNP` có:

`AM=BN=CP` (giả thiết)

`hat{A}=hat{B}=hat{C}` (do `triangleABC` đều)

`AP=MB=NC` (chứng minh trên)

`=> triangleAMP=triangleBMN=triangleCNP \ (g.c.g)`

`=> MP=MN=NP`

`=> triangleMNP` là tam giác đều.

`b)`

Vì `O` là giao điểm của các đường trung trực trong tam giác đều `ABC` nên `OA=OB=OC`

`=> AO,BO,CO` lần lượt là các tia phân giác của các góc `hat{BAC},hat{ABC},hat{ACB}`

Mà `triangleABC` là tam giác đều nên `hat{BAC}=hat{ABC}=hat{ACB}=>hat{A_1}=hat{A_2}=hat{B_1}=hat{B_2}=hat{C_1}=hat{C_2}`

Xét `3` tam giác `AOM,BON,COP` có:

`hat{A_1}=hat{B_2}=hat{C_2}` (chứng minh trên)

`AO=BO=CO` (chứng minh trên)

`AM=BN=CP` (chứng minh trên)

`=> triangleAOM=triangleBON=triangleCOP \ (c.g.c)`

`=> OM=ON=OP` 

Vậy `O` cũng là giao điểm các đường trung trực của `triangleMNP`

`cccolor{#8FBC8F}{~} cccolor{#C1FFC1}{b} cccolor{#B4EEB4}{u} cccolor{#9BCD9B}{i} cccolor{#698B69}{g} cccolor{#2E8B57}{i} cccolor{#54FF9F}{a} cccolor{#4EEE94}{p} cccolor{#43CD80}{h} cccolor{#98FB98}{o} cccolor{#008B45}{n} cccolor{#00FF00}{g} cccolor{#00EE00}{9} cccolor{#00CD00}{9} cccolor{#ADFF2F}{9} cccolor{#228B22}{~}`
            $\color{HotPink}{\heartsuit}$
$\color{pink}{\heartsuit 𝕻𝖍𝖚𝖔𝖓𝖌𝖌 \ 𝕷𝖎𝖓𝖍𝖍 \heartsuit}$