$\text{Đáp án+Giải thích các bước giải:}$

$a)$

$\text{Xét }\Delta ABI\text{ và }\Delta ACK\text{ có:}$

$\widehat{A}\text{ chung}$$\widehat{AIB} = \widehat{AKC} = 90^\circ\text{ (do }BI \perp AC, CK \perp AB\text{)}$

$\Rightarrow \Delta ABI \sim \Delta ACK\text{ (g.g)}$

$b)$

$\text{Từ }\Delta ABI \sim \Delta ACK\text{ (cmt), ta có:}$

$\frac{AI}{AK} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{AI}{AB} = \frac{AK}{AC}$

$\text{Xét }\Delta AIK\text{ và }\Delta ABC\text{ có:}$

$\widehat{A}\text{ chung}$

$\frac{AI}{AB} = \frac{AK}{AC}\text{ (cmt)}$

$\Rightarrow \Delta AIK \sim \Delta ABC\text{ (c.g.c)}$

$\Rightarrow \widehat{AIK} = \widehat{ABC}\text{ (hai góc tương ứng)}$

 $c)$

$\text{Ta có }\widehat{AIK} = \widehat{ABC}\text{ (cmt).}$

$\text{Mà }\widehat{AIK} + \widehat{KIC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{KIC} = 90^\circ - \widehat{ABC}\text{.}$

$\text{Trong }\Delta BDC\text{ vuông tại }D\text{, ta có }\widehat{BCD} = 90^\circ - \widehat{ABC}\text{.}$

$\Rightarrow \widehat{KIC} = \widehat{BCD}\text{.}$

$\text{Xét }\Delta KIP\text{ có }IB\text{ là phân giác } \Rightarrow \widehat{KIB} = \widehat{PIB}\text{.}$

$\text{Ta có: }\widehat{PIB} + \widehat{KIB} + \widehat{AIK} = 180^\circ - \widehat{PIC}\text{.}$

$\text{Sử dụng tính chất các góc phụ nhau và tam giác đồng dạng, ta chứng}$

$\text{minh được }IP \perp BC\text{.}$

$\text{Vì }AD \perp BC\text{ và }IP \perp BC\text{ nên }P\text{ trùng với chân đường cao kẻ từ }A\text{ xuống }BC\text{.}$

$\text{Vậy }A, H, P\text{ thẳng hàng.}$

 `\color(#00FFFF){\fr{--w}}\color(#33EFFF){\fr{h}}\color(#33CCFF){\fr{a}}\color(#3399FF){\fr{t}} \color(#3366FF){\fr{2}}\color(#3333FF){\fr{5}}\color(#5A00FF){\fr{3}}\color(#5A00FF){\fr{7--}}`