Tại một khu quảng trường, người ta muốn trang trí dải đèn led để chào mừng một sự kiện. Từ đỉnh M của một cái cây cao, người ta kéo dây đèn led thẳng xuống một vị trí H nào đó trên mặt đất, rồi tiếp tục kéo dây đèn led thẳng từ H đến một vị trí A cố định trên mặt đất sao cho MH luôn vuông góc với HA. Sau đó, từ vị trí H, người ta sẽ đi dây điện thẳng đến công tắc nằm trên một bức tường vuông góc với mặt đất. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (đơn vị trên mỗi tính theo mét), người xác định được M (4;-2;3), A(-2;6;0) và bức tường chứa công tắc nằm trên mặt phẳng (a): 3x + 4y +89 = 0. Để độ dài đường dây điện phải đi là ngắn nhất, người ta đã tính toán khoảng cách nhỏ nhất từ vị trí H đến bức tường bằng a (m). Giá trị của a bằng bao nhiêu?

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi toạ độ điểm } H \text{ nằm trên mặt phẳng } (Oxy) \text{ là } (x; y; 0) \\
& \vec{MH} = (x - 4; y + 2; -3) \\
& \vec{HA} = (-2 - x; 6 - y; 0) \\
& \vec{MH} \cdot \vec{HA} = 0 \\
& (x - 4)(-2 - x) + (y + 2)(6 - y) + (-3) \cdot 0 = 0 \\
& -2x - x^2 + 8 + 4x + 6y - y^2 + 12 - 2y = 0 \\
& -x^2 + 2x - y^2 + 4y + 20 = 0 \\
& x^2 - 2x + y^2 - 4y = 20 \\
& (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 20 \\
& (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \\
& \text{Gọi } d \text{ là khoảng cách từ điểm } H \text{ đến mặt phẳng } (\alpha) \\
& d = \dfrac{|3x + 4y + 0 \cdot 0 + 89|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2}} \\
& d = \dfrac{|3x + 4y + 89|}{5} \\
& (3(x - 1) + 4(y - 2))^2 \le (3^2 + 4^2)((x - 1)^2 + (y - 2)^2) \\
& (3x - 3 + 4y - 8)^2 \le 25 \cdot 25 \\
& (3x + 4y - 11)^2 \le 625 \\
& -25 \le 3x + 4y - 11 \le 25 \\
& -14 \le 3x + 4y \le 36 \\
& 3x + 4y + 89 \ge -14 + 89 \\
& 3x + 4y + 89 \ge 75 \\
& \dfrac{|3x + 4y + 89|}{5} \ge \dfrac{75}{5} \\
& d \ge 15 \\
& \text{Kết quả: } a = 15
\end{aligned}$