Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) CM: Tứ giác ABHK nội tiếp.

`AH ⊥ BC` (gt) suy ra `ΔAHB` vuông tại `H`

`BK ⊥ AC` (gt) suy ra `ΔAKB` vuông tại `K`

Gọi `J` là trung điểm `AB ⇒JH,JK` là đg trung tuyến `ΔAHB` và `ΔAKB`

`⇒ JH=JK=JB=JA =1/2AB` ( đường trung tuyến =1/2 cạnh huyền)

Suy ra `4` điểm `A,B,H,K` cùng `∈ 1` đg tròn ⇒ tứ giác `ABHK` nội tiếp.

b) CM : AB. AC =AH. AA' ; và ΔHIF cân tại I.

+` \hat{ACA'} = 90^0` ( góc chắn đường kính `A A'`)

+` \hat{ABH} =\hat{ABC} = \hat{A A'C}` (cùng chắn `AC`)

Xét `ΔAHB` và `ΔACA'` có

`\hat{ACA'} = \hat{AHB} = 90^0 ; \hat{ABH} =\hat{A A'C} (cmt)`

Suy ra `ΔAHB` đồng dạng `ΔACA' ( g.g)`

Do đó `(AB)/(A A') = (AH)/(AC) ⇒ AB.AC = AH. A A'`

+ `CF⊥ A A' ⇒ΔAFC` vuông tại `F ⇒ A,F,C`cùng ∈ đg tròn đk `AC`

+`ΔAHC` vuông tại `H ⇒ A,H,C` cùng `∈` đg tròn đk `AC`

Suy ra `4` điểm `A,C,F,H` cùng thuộc 1 đg tròn ⇒ tứ giác `ABFH` nội tiếp.

Do đó `\hat{FHI} =  \hat{FHC} =\hat{FAC}` ( cùng chắn `FC`) 

Hay `\hat{FHI} = \hat{OAC} ( O ∈ AC) `

+ `I` là trung điểm `BC` suy ra `OI ⊥ BC ⇒ ΔOIC` vuông tại `I`

Suy ra `3` điểm `O,I,C` cùng `∈` đường tròn đường kính `OC`

+`ΔOFC` vuông tại `F ⇒ O,F,C` cùng `∈` đg tròn đường kính `OC`

Do đó `4` điểm `O,I,F,C` cùng `∈ 1` đg tròn ⇒ tứ giác `OIFC` nội tiếp.

Suy ra `\hat{FIC} =\hat{FOC}` ( cùng chắn` FC`}

Mà `\hat{HIF} = 180^0 - \hat{FIC}` ( 2 góc kề bù)

`\hat{AOC} = 180^0 -\hat{FOC}` ( 2 góc kề bù)

Suy ra `\hat{HIF} = \hat{AOC} `

Xét `ΔAOC` và `ΔHIF` có 

 `\hat{FHI} = \hat{OAC} (cmt) ; \hat{HIF} = \hat{AOC} (cmt)`

Suy ra `ΔAOC` đồng dạng `ΔHIF`

Mà `OA =OC ⇒ΔAOC` cân tại `O` do đó `Δ HIF` cân tại `I`.

c) CM : O, P, B thẳng hàng.

`M` là trung điểm `AC ⇒ OM ⊥AC` ( t/c giữa đường kính và dây cung)

Mà `A'C ⊥ AC ⇒ OM` // `A'C` suy ra `\hat{CA'A} =\hat{AOM}` (đồng vị) `(3)`

+ `AB ⊥ BP` (gt) `⇒ ΔAPB` vuông tại `P ⇒ A,B,P` cùng `∈` đg tròn đk `AB`

+ `ΔAHB` vuông tại `H ⇒ A,H,B` cùng ∈ đg tròn đk `AB`

`⇒ 4` điểm `A,B,H,P` cùng `∈ 1` đường tròn ⇒ tứ giác `ABHP` nội tiếp

Do đó `\hat{ABC} =\hat{ABH} =\hat{APM}` (cùng bù `\hat{APH}`)

Mà `\hat{ABC} = \hat{CA'A}` ( cùng chắn `AC`) `⇒ \hat{APM} = \hat{CA'A} (4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra `\hat{APM} = \hat{AOM}`

Tứ giác `APOM` có `\hat{APM} = \hat{AOM}` cùng nhìn `AM` = nhau

Suy ra tứ giác `APOM` nội tiếp `⇒\hat{APO} =\hat{AMO} = 90^0`

Do đó `\hat{APB} + \hat{APO} = 90^0 +90^0 = 180^0`

Suy ra `O, P, B` thẳng hàng