Giải thích các bước giải:

a.Vì $BE\perp AC, CF\perp AB, BE\cap FC=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta AH\perp BC$

$\to AH\perp BC$

Ta có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to$Tâm đường tròn $I$ là trung điểm $AH$

b.Vì $AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^o$

$\to KB\perp AB, KC\perp AC$

Mà $BH\perp AC, CH\perp AB$

$\to BH//CK, CH//BK$

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to BH=CK, CH=BK$

Xét $\Delta BHD,\Delta BEC$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to \Delta BDH\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}$

$\to BH.BE=BD.BC$

Tương tự: $CH.CF=CD.CB$

$\to BH.BE+CH.CD=BD.BC+CD.BC=BC^2$

$\to CK.BE+BK.CF=BC^2$

Ta có:

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{AFE}=\widehat{ECB}=\widehat{ACB}$

$\to \widehat{APB}=180^o-\widehat{ACB}=180^o-\widehat{AFE}=\widehat{AFP}$

$\to \Delta AFP\sim\Delta APB(g.g)$

$\to \dfrac{AF}{AP}=\dfrac{AP}{AB}$

$\to AP^2=AF.AB$

Xét $\Delta AFH,\Delta ADB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AFH}=\widehat{ADB}(=90^o)$

$\to \Delta AFH\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to \dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH.AD=AF.AB=AP^2$

c.Ta có:

$\widehat{AFE}=\widehat{ECB}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\cos A$

$\to EF=BC\cos A$

$\to EF=16\sqrt3\cdot\cos60^o$

$\to EF=8\sqrt3$

Kẻ $IG\perp EF$

$\to G$ là trung điểm $EF$

$\to GE=GF=\dfrac12EF=4\sqrt3$

Ta có:

$\widehat{GIE}=\widehat{GIF}=\dfrac12\widehat{EIF}=\widehat{EAF}=60^o$

$\sin\widehat{FIG}=\dfrac{FG}{FI}$

$\to \sin60^o=\dfrac{4\sqrt3}{IF}$

$\to IF=8$

$\to IG=\sqrt{IF^2-FG^2}=4$

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

$$\dfrac{120}{360}\cdot \pi\cdot 8^2-\dfrac12\cdot 4\cdot 8\sqrt3=\dfrac{64\pi }{3}-16\sqrt{3}$$