$\begin{cases} a+b+c+d=0 \implies a+b = -(c+d) & (1) \\ a^n+b^n+c^n+d^n=0 \implies a^n+b^n = -(c^n+d^n) & (2) \end{cases}$

`áp  dụng  hằng  đẳng  thức` $x^n+y^n$ `cho  (2)`

$(a+b)(a^{n-1} - \dots + b^{n-1}) = -(c+d)(c^{n-1} - \dots + d^{n-1})$

`Thay` $-(c+d) = a+b$ `từ  (1)  vào:`

$(a+b)(a^{n-1} - \dots + b^{n-1}) = (a+b)(c^{n-1} - \dots + d^{n-1})$

$\implies (a+b) [ (a^{n-1} - \dots + b^{n-1}) - (c^{n-1} - \dots + d^{n-1}) ] = 0$

$\implies a+b=0$ `hoặc  các  trường  hợp  tương  tự` $a+c=0, a+d=0$

$\implies$ `Có  ít  nhất  hai  số  đối  nhau`