$a^4 \le a^2;\ b^4 \le b^2;\ c^4 \le c^2$

$\Rightarrow a^4 + b^4 + c^4 \le a^2 + b^2 + c^2$

Ta có: $2(a^4 + b^4 + c^4) + 11abc \le 2(a^2 + b^2 + c^2) + 11abc$

Từ hằng đẳng thức: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$

Thay $a+b+c=2$ vào hằng đẳng thức, ta có:

$4 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 4 - 2(ab+bc+ca)$ (1)

Thay (1) vào, ta có

$P \le 2[4 - 2(ab+bc+ca)] + 11abc$

$P \le 8 - 4(ab+bc+ca) + 11abc$

Mà $a,b,c \le 1$, $\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c) \ge 0$

$\Rightarrow (1-b-a+ab)(1-c) \ge 0$

$\Rightarrow 1-c-b+bc-a+ab+ac-abc \ge 0$

$\Rightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc \ge 0$

Thay $a+b+c=2$ vào, ta cos:

$-1+(ab+bc+ca)-abc \ge 0$

$\Rightarrow ab+bc+ca \ge 1+abc$

Thay vào $P \le 8-4(ab+bc+ca)+11abc$, ta có:

$P \le 8-4(1+abc)+11abc$ (cái này vì trc nó là âm nên BĐT đổi chiều)

$P \le 4+7abc$

Mà $a,b,c \in [0;1],\ a+b+c=2 \Rightarrow$ ta có $a=1$ (GT biên lớn nhất)

Khi đó $b+c=1$

$\Rightarrow$ Tích $bc$ lớn nhất khi $b=c=0,5$

Thay $a=1,\ b=c=0,5$ vào $P$

$P=2(1+0,0625+0,0625)+2,75=5$

Vậy GTLN của $P=5$