Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{Vì } k \text{ là số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau:} \\
& \text{Trường hợp 1: } p = 3k + 1 \\
& p^2 + 200 = (3k + 1)^2 + 200 \\
& p^2 + 200 = 9k^2 + 6k + 1 + 200 \\
& p^2 + 200 = 9k^2 + 6k + 201 \\
& p^2 + 200 = 3(3k^2 + 2k + 67) \\
& p^2 + 200 \vdots 3 \text{ và lớn hơn } 3 \text{ nên là hợp số} \\
& \text{Trường hợp 2: } p = 3k + 2 \\
& p^2 + 200 = (3k + 2)^2 + 200 \\
& p^2 + 200 = 9k^2 + 12k + 4 + 200 \\
& p^2 + 200 = 9k^2 + 12k + 204 \\
& p^2 + 200 = 3(3k^2 + 4k + 68) \\
& p^2 + 200 \vdots 3 \text{ và lớn hơn } 3 \text{ nên là hợp số} \\
& \text{Trường hợp 3: } p \text{ chia hết cho } 3 \\
& p = 0 \implies 0^2 + 200 = 200 \text{ là hợp số} \\
& p = 3 \implies 3^2 + 200 = 209 = 11 \cdot 19 \text{ là hợp số} \\
& p = 6 \implies 6^2 + 200 = 236 \text{ là hợp số vì chia hết cho } 2 \\
& p = 9 \implies 9^2 + 200 = 81 + 200 = 281 \\
& \sqrt{281} \approx 16,7 \\
& 281 \text{ không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn } 16,7 \text{ là } 2, 3, 5, 7, 11, 13 \\
& 281 \text{ là số nguyên tố} \\
& \text{Kết quả: } p = 9
\end{aligned}$