#Kat 

`a,` 

Xét `triangle MEC` và `triangle MAB` ta có

`hat{M}` là góc chung 

`hat{MEC} = hat{MAB} (= 90^@)`

`=> triangle MEC` $\backsim$ `triangle MAB (g-g)` 

`=>(ME)/(MA) = (MC)/(MB)` (tỉ số đồng dạng)

`=> MA.MB=ME.MC`

Ta có 

`(ME)/(MA) = (MC)/(MB)`

`=> (MA)/(MC) = (ME)/(MB)`

Xét `triangle MAE` và `triangle MCB` ta có

`hat{M}` là góc chung 

`(MA)/(MC) = (ME)/(MB) (cmt)`

`=> triangle MAE` $\backsim$ `triangle MCB (c-g-c)` 

`=> hat{MAE} = hat{MCB}` (2 góc tương ứng)

`b,` 

Ta có 

`hat{DBC} =120^@ => hat{ADB} = 180^@-120^@=60^@` (2 góc kề bù)

Xét `triangle ABD` vuông tại `A` ta có

`hat{ABD} = 90^@ - hat{ADB}`

`hat{ABD} = 90^@ - 60^@`

`hat{ABD} =30^@`

Vậy `hat{ABD} = 30^@`

Xét `triangle MBE` vuông tại `E` ta có 

`hat{M} = 90^@ - hat{MBE}`

`hat{M} = 90^@ - 30^@`

`hat{M} = 60^@`

Vậy `hat{M} = 60^@`

Xét `triangle MBE` vuông tại `E` ta có

`hat{MBE} =30^@` 

`=> ME = 1/2 MB` (cạnh đối diện góc `30^@`)

Ta có 

`triangle MAE = triangle MCB (cmt)`

`=> k = (ME)/(MB) =1/2`

Ta có 

`S_[AME]/S_[BMC] = k^2 = (1/2)^2 =1/4`

`=> S_[BMC] = 4. S_[AME] = 4.40=160cm^2`

`c,`

Xét `triangle ABD` và `triangle ECD` ta có

`hat{BAD} = hat{CED} (=90^@)`

`hat{ADB} = hat{ECD}` (2 góc đối đỉnh)

`=> triangle ABD` $\backsim$ `triangle ECD (g-g)` 

`=> (BD)/(CD) = (AD)/(ED)` (tỉ số đồng dạng)

`=> BD.ED=CD.AD (1)`

Ta có 

`BD.BE=BD(BD+DE)`

`BD.BE=BD^2 +BD.BE` 

`BD.BE=(AB^2 +AD^2)+AD.CD` (Thay `BD^2` bằng Pythagore và thay (1) vào)

`BD.BE=AB^2 +AD(AD+CD)`

`BD.BE=AB^2 +AD.AC`

`BD.BE+CD.CA=AB^2 +AD.AC+CD.AC`

`BD.BE+CD.CA=AB^2 +AC(AD.CD)`

`BD.BE+CD.CA=AB^2 + AC^2`

`BD.BE+CD.CA=BC^2 (đpcm)`