Bài 70

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, có hai trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh:

a) $BM=CN$;

b) Tam giác $GBC$ là tam giác cân;

c) $AG$ vuông góc với $BC$.

Bài 71

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MG$ lấy điểm $D$ sao cho $MD=MG$.

a) Chứng minh $CG$ là trung tuyến của tam giác $ACD$;

b) Chứng minh $BG$ song song với $CD$;

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BD$, $AI$ cắt $BG$ tại $F$. Chứng minh $AF=2FI$.

Bài 72

Chứng minh: Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Bài 73

Cho tam giác $ABC$ đều và $G$ là trọng tâm.

a) Chứng minh $GA=GB=GC$;

b) Trên tia $AG$ lấy điểm $D$ sao cho $GD=GA$. Chứng minh tam giác $BGD$ là tam giác đều.

Bài 74

Cho tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $BD$. Trên tia đối của tia $DB$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=BD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,CE$. Gọi $I,K$ lần lượt là giao điểm của $AM,AN$ với $BE$. Chứng minh $BI=IK=KE$.

Bài 75

Tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$. Chứng minh rằng ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ∠BAC=90∘.

Bài 76

Cho tam giác nhọn $ABC$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=AB$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho AE=13ACAE = \dfrac{1}{3}ACAE=31​AC.

a) Chứng minh $E$ là trọng tâm tam giác $BCD$;

b) Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Chứng minh ba điểm $B,M,E$ thẳng hàng.

Bài 77

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường trung tuyến $AD$, $G$ là trọng tâm. Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=DG$.

a) Chứng minh $BG=GC=CE=BE$;

b) Chứng minh $△ABE=△ACE$;

c) Nếu CG=12AECG = \dfrac{1}{2}AECG=21​AE thì tam giác $ABC$ là tam giác gì? Vì sao?

Bài 78

Cho tam giác $DEF$ cân tại $D$ có đường trung tuyến $EM$. Trên tia đối của tia $ME$ lấy điểm $N$ sao cho $MN=ME$.

a) Chứng minh $DE=FN$ và tam giác $DFN$ là tam giác cân;

b) Trên tia đối của tia $FD$ lấy điểm $A$ sao cho $FA=FD$. Chứng minh $F$ là trọng tâm của tam giác $NEA$;

c) Chứng minh tam giác $DNA$ là tam giác vuông;

d) Kẻ $EB$ vuông góc với $NA$ ($B\in NA$). Chứng minh ba điểm $E,F,B$ thẳng hàng.