Đáp án:

a) Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $EF$.

Có $ACDF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$ (tự chứng minh)

$\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{ACF}$ (cùng chắn cung $AF$)

Có $CDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH$ (tự chứng minh)

$\Rightarrow\widehat{ACF}=\widehat{ADE}$ (cùng chắn cung $HE$)

$\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ADF}\Rightarrow AD$ là tia phân giác $\widehat{EDF}$

Mà $AD\,\bot\,DP\Rightarrow DP$ là tia phân giác góc ngoài của $\widehat{EDF}$

$\Delta DEF$ có $DI$ là phân giác trong và $DP$ là phân giác ngoài tại đỉnh $D$.

Tính chất đường phân giác trong: $\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{DE}{DF}$

Tính chất đường phân giác ngoài: $\dfrac{PE}{PF}=\dfrac{DE}{DF}$

$\Rightarrow\dfrac{IE}{IF}=\dfrac{PE}{PF}$

Mà $\dfrac{AE}{NF}=\dfrac{PE}{PF}$ (Thales)

Và $\dfrac{AE}{KF}=\dfrac{IE}{IF}$ (Thales)

$\Rightarrow\dfrac{AE}{NF}=\dfrac{AE}{KF}\Rightarrow NF=KF$

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $NK$.