Đáp án:

a) $BPQC$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow\widehat{MBP}=\widehat{MQC}$

$\Rightarrow\Delta MBP\backsim\Delta MQC$ (góc-góc)

$\Rightarrow MP.MQ=MB.MC$.

$ABEF$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow\widehat{BFM}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow\Delta BFM\backsim\Delta CEM$ (góc-góc)

$\Rightarrow MB.MC=ME.MF$

$\Rightarrow ME.MF=MP.MQ$.

b) Gọi $L$ là trung điểm của $BC$. $J$ là điểm đối xứng với $A$ qua $L$.

$ABJC$ là hình bình hành $\Rightarrow BJ//AC,CJ//AB$

$\Rightarrow BH\,\bot\,BJ,CH\,\bot\,CJ$

$\Rightarrow BHCJ$ nội tiếp đường tròn đường kính $HJ$

Gọi $K$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$

$\Rightarrow AB\,\bot\,BK,AC\,\bot\,CK$

$\Rightarrow CH//BK,BH//CK\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành

$\Rightarrow H,K,L$ thẳng hàng.

$OL$ là đường trung bình của $\Delta AHK$

$\Rightarrow AH=2OL$ mà $OL=NL$

$\Rightarrow AH=2NL\Rightarrow\dfrac{AH}{NL}=2$.

Có $NL//AH$, $\dfrac{AH}{NL}=2=\dfrac{AJ}{LJ}$

$\Rightarrow H,N,J$ thẳng hàng (Thales đảo)

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $HJ$

$\Rightarrow N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $BHCJ$

$\Rightarrow N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$.

c) Bạn tham khảo ý tưởng từ câu trả lời (của mình) bên id 8323956 nhé.