$x^{2}$ - $5x$ + $1$ = 0

$\text{Xét}$ Δ = $(-5)^{2}$ - $4$ · $1$ · $1$ = $21$ $>$ $0$

⇒ $\text{Phương trình có 2 nghiệm phân biệt}$ $x_{1}$, $x_{2}$

Theo định lý Viète, ta có:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 5 \\
x_1 x_2 = 1
\end{cases}
\]

Xét biểu thức:
\[
T = \frac{|23x_2 - 5x_1^2|}{x_1^3 + x_2^3}
\]

Vì \(x_1\) là nghiệm nên:
\[
x_1^2 - 5x_1 + 1 = 0 \Rightarrow x_1^2 = 5x_1 - 1
\]

Suy ra:
\[
5x_1^2 = 25x_1 - 5
\]

Nên:
\[
|23x_2 - 5x_1^2| = |23x_2 - 25x_1 + 5|
\]

Ta có:
\[
23x_2 - 25x_1 + 5 = 23x_2 - 25x_1 + (x_1 + x_2)
= 24x_2 - 24x_1 = 24(x_2 - x_1)
\]

Vậy:
\[
|23x_2 - 5x_1^2| = 24|x_2 - x_1|
\]

Lại có:
\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)
= 5^3 - 3 \cdot 1 \cdot 5 = 125 - 15 = 110
\]

Do đó:
\[
T = \frac{24|x_2 - x_1|}{110}
\]

Ta có:
\[
(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 5^2 - 4 \cdot 1 = 21
\]

Suy ra:
\[
|x_2 - x_1| = \sqrt{21}
\]

Vậy:
\[
T = \frac{24\sqrt{21}}{110} = \frac{12\sqrt{21}}{55}
\]