EM THAM KHẢO :

$\textbf{Cách 1: thuần túy}$

$\text{Xét } \Delta ABC \text{ vuông tại } B \text{ có } AC = 2, \widehat{ACB} = 30^\circ$

$\Rightarrow AB = AC \sin 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$

$\Rightarrow BC = AC \cos 30^\circ = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$\text{Do } H \text{ là trung điểm } AC \text{ nên } AC \cap (SAB) = A$

$\Rightarrow \dfrac{d(C, (SAB))}{d(H, (SAB))} = \dfrac{CA}{HA} = 2$

$\Rightarrow d(C, (SAB)) = 2 d(H, (SAB))$

$\text{Trong } (ABC) \text{, kẻ } HK \perp AB \text{ tại } K$

$\text{Do } BC \perp AB \Rightarrow HK \parallel BC$

$\text{Vì } H \text{ là trung điểm } AC \Rightarrow K \text{ là trung điểm } AB$

$\Rightarrow HK = \dfrac{1}{2} BC = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\text{Trong } (SHK) \text{, kẻ } HI \perp SK \text{ tại } I$

$\text{Ta có: }$

$\begin{cases} AB \perp HK \\ AB \perp SH \end{cases}$

$\Rightarrow AB \perp (SHK)$

$\Rightarrow AB \perp HI$

$\text{Lại có: }$

$\begin{cases} HI \perp SK \\ HI \perp AB \end{cases}$

$\Rightarrow HI \perp (SAB)$

$\Rightarrow d(H, (SAB)) = HI$

$\text{Xét } \Delta SHK \text{ vuông tại } H:$

$\dfrac{1}{HI^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HK^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{HI^2} = \dfrac{1}{(\sqrt{2})^2} + \dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$

$\Rightarrow HI = \sqrt{\dfrac{6}{11}} = \dfrac{\sqrt{66}}{11}$

$\Rightarrow d(C, (SAB)) = 2HI = \dfrac{2\sqrt{66}}{11} \approx 1,5$

$\textbf{Cách 2: Tọa độ hóa}$

$\text{Chọn hệ trục tọa độ } Oxyz \text{ với gốc tọa độ } B \equiv O(0; 0; 0)$

$\text{Tia } Bx \text{ chứa } A \text{, tia } By \text{ chứa } C \text{, tia } Bz \text{ song song và cùng chiều với } \vec{HS}$

$\text{Ta có } AB = 1 \text{ và } BC = \sqrt{3} \text{, suy ra tọa độ các điểm:}$

$A(1; 0; 0)$

$C(0; \sqrt{3}; 0)$

$\text{Do } H \text{ là trung điểm } AC \Rightarrow H\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$

$\text{Vì } SH \perp (ABC) \text{ và } SH = \sqrt{2} \Rightarrow S\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; \sqrt{2}\right)$

$\text{Mặt phẳng } (SAB) \text{ đi qua } B(0; 0; 0) \text{ và có cặp vectơ chỉ phương: }$

$\begin{cases} \vec{BA} = (1; 0; 0) \\ \vec{BS} = \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}; \sqrt{2}\right) \end{cases}$

$\Rightarrow \text{Vectơ pháp tuyến của } (SAB) \text{ là } \vec{n} = [\vec{BA}, \vec{BS}] = \left(0; -\sqrt{2}; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\text{Phương trình mặt phẳng } (SAB):$

$0(x - 0) - \sqrt{2}(y - 0) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}y + \sqrt{3}z = 0$

$d(C, (SAB)) = \dfrac{|-2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 0|}{\sqrt{0^2 + (-2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$= \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{11}} = \dfrac{2\sqrt{66}}{11}$

$\Rightarrow d(C, (SAB)) \approx 1,5$