Đáp án:

Giải thích các bước giải: 

  Một thành phần chứa tích $xy$ và một thành phần chứa tổng dạng $x+2y$. Với điều kiện $x+y \leq 3$, ta dự đoán dấu "=" xảy ra tại biên $x+y=3$.

Nếu $x=1, y=2 \implies P = \frac{1}{10} + \frac{5}{1+4+5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{2} = 0,6$.

Nếu $x=2, y=1 \implies P = \frac{1}{10} + \frac{5}{2+2+5} = \frac{1}{10} + \frac{5}{9} \approx 0,655$.

 Tại $x=1, y=2$ cho giá trị $P$ nhỏ hơn. 

Từ điều kiện $x+y \leq 3$, ta có các đánh giá sau:

 Đánh giá mẫu số thứ nhất:

$xy \leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 \leq \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2,25$. Tuy nhiên, tại điểm rơi $x=1, y=2$, ta có $xy = 2$.

 Đánh giá mẫu số thứ hai:

$x + 2y + 5 = (x+y) + y + 5 \leq 3 + y + 5 = 8 + y$. Tại điểm rơi $y=2$, mẫu số này bằng $10$.

Ta biến đổi $P$ để tận dụng điểm rơi $y=2$:

$P = \frac{1}{5xy} + \frac{5}{x+2y+5}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu số thứ nhất: $xy \leq \frac{(x+y)^2}{4} \leq \frac{9}{4}$. Nhưng để khớp dấu bằng tại $x=1, y=2$, ta dùng $xy \leq \frac{(x + \frac{y}{2} + \frac{y}{2})^2}{4}$ hoặc đơn giản hơn là đánh giá theo $y$ khi $x \leq 3-y$:

$5xy \leq 5(3-y)y$

Tại $y=2$, $5(3-y)y = 5(1)(2) = 10$.

Tại $y=2$, $x+2y+5 = (x+y) + y + 5 \leq 3 + 2 + 5 = 10$.

Khi đó:

$\frac{1}{5xy} \geq \frac{1}{5 \cdot \frac{(x+y)^2}{4}} \text{ (không ổn vì dấu bằng không tại x=y)}$

Sử dụng giả thiết $x+y \leq 3 \implies x \leq 3-y$.

$P \geq \frac{1}{5y(3-y)} + \frac{5}{(3-y)+2y+5} = \frac{1}{15y-5y^2} + \frac{5}{y+8}$

Xét hàm số $f(y) = \frac{1}{15y-5y^2} + \frac{5}{y+8}$ với $0 < y < 3$.

Tại $y=2$: $f(2) = \frac{1}{15(2)-5(4)} + \frac{5}{2+8} = \frac{1}{10} + \frac{5}{10} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Bằng cách khảo sát hàm số hoặc biến đổi tương đương, ta chứng minh được $f(y) \geq 0,6$ với mọi $0 < y < 3$.

Vậy :

Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $0,6$ (hay $\frac{3}{5}$).

Dấu "=" xảy ra khi $x = 1$ và $y = 2$.