Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Giả sử đa thức } P(x) \text{ có bậc } n \text{ và có dạng: } \\
& P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \quad (\text{với } a_i \in \mathbb{Z}) \\
& \text{Theo giả thiết bài toán, ta có:} \\
& P(0) = a_0 \text{ là một số lẻ.} \\
& P(1) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \text{ là một số lẻ.} \\
& \text{Giả sử phản chứng rằng đa thức } P(x) \text{ có một nghiệm nguyên là } c \text{. Khi đó } P(c) = 0 \text{ (là một số chẵn).} \\
& \text{Vì } c \text{ là một số nguyên, nên } c \text{ chỉ có thể là số chẵn hoặc số lẻ. Ta xét hai trường hợp sau:} \\
& \text{Trường hợp 1: } c \text{ là số chẵn.} \\
& \text{Khi đó, lũy thừa } c^k \text{ luôn là số chẵn với mọi số nguyên dương } k \ge 1 \text{.} \\
& \text{Suy ra các tích } a_kc^k \text{ cũng là các số chẵn với mọi } k \ge 1 \text{.} \\
& \text{Ta xét giá trị của đa thức tại } x = c \text{:} \\
& P(c) = (a_nc^n + a_{n-1}c^{n-1} + \dots + a_1c) + a_0 \\
& \text{Vì tổng của các số chẵn là một số chẵn, nên biểu thức trong ngoặc } (a_nc^n + \dots + a_1c) \text{ là một số chẵn.} \\
& \text{Lại có } a_0 = P(0) \text{ là một số lẻ (chứng minh trên), do đó } P(c) \text{ là tổng của một số chẵn và một số lẻ.} \\
& \text{Suy ra } P(c) \text{ phải là một số lẻ.} \\
& \text{Điều này mâu thuẫn với giả thiết } P(c) = 0 \text{ (là số chẵn).} \\
& \text{Trường hợp 2: } c \text{ là số lẻ.} \\
& \text{Khi đó, lũy thừa } c^k \text{ luôn là số lẻ với mọi số nguyên dương } k \ge 1 \text{.} \\
& \text{Tích của một số nguyên } a_k \text{ với một số lẻ } c^k \text{ sẽ luôn có cùng tính chẵn lẻ với chính hệ số } a_k \text{ đó.} \\
& \text{Nói cách khác, } P(c) = a_nc^n + a_{n-1}c^{n-1} + \dots + a_1c + a_0 \text{ sẽ có cùng tính chẵn lẻ với tổng các hệ số:} \\
& S = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0 \\
& \text{Mà } S = P(1) \text{, và theo giả thiết } P(1) \text{ là một số lẻ.} \\
& \text{Do đó, } P(c) \text{ cũng phải là một số lẻ.} \\
& \text{Điều này lại tiếp tục mâu thuẫn với việc } P(c) = 0 \text{ (là số chẵn).} \\
& \text{Kết luận: Trong cả hai trường hợp, giả thiết } P(x) \text{ có nghiệm nguyên } c \text{ đều dẫn đến mâu thuẫn vô lý.} \\
& \text{Vậy, ta có thể khẳng định đa thức } P(x) \text{ không có nghiệm nguyên (điều phải chứng minh).}
\end{aligned}$