Từ các câu trước, ta đã có:

$MA^2 = MH \cdot MO$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông $MAO$)

Xét tam giác $MAN$ và $MPA$:

Hai tam giác này đồng dạng (chung góc $M$ và $\widehat{MAN} = \widehat{MPA}$ - góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: $\dfrac{MA}{MP} = \dfrac{MN}{MA} \Rightarrow MA^2 = MN \cdot MP$

Từ đó ta có: $MH \cdot MO = MN \cdot MP$

Xét $\triangle MHN$ và $\triangle MPO$:

Góc $\widehat{M}$ chung

$\dfrac{MH}{MP} = \dfrac{MN}{MO}$ (từ $MH \cdot MO = MN \cdot MP$)

$\Rightarrow \triangle MHN \sim \triangle MPO$ `(c.g.c)`

$\Rightarrow \widehat{MHN} = \widehat{MPO}$

$\triangle MAN \sim \triangle MPA \Rightarrow \dfrac{AN}{AP} = \dfrac{MA}{MP}$   `(1)`

$\triangle MBN \sim \triangle MPB \Rightarrow \dfrac{BN}{BP} = \dfrac{MB}{MP}$   `(2)`

Mà $MA = MB$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \dfrac{AN}{AP} = \dfrac{BN}{BP} \Rightarrow \dfrac{AN}{BN} = \dfrac{AP}{BP}$

Gọi $K$ là giao điểm của $AN$ và $MH$

Ta cần chứng minh $K \equiv I$ (tức $K$ là trung điểm $MH$)

Kẻ $NS \perp AB$ tại $S$

Ta có tỉ số: $\dfrac{KA}{KN} = \dfrac{MA}{NS}$ (do $MH \parallel NS$ `-` cùng vuông góc $AB$)

Xét tỉ số khoảng cách từ $N$ đến các cạnh $MA, MB$ và kết hợp với tính chất của dây cung, ta có hệ thức:

$\dfrac{NK}{NH} = \dfrac{MA}{MH}$ (theo định lý Thales)

Trong tam giác $MAH$, đường thẳng $AN$ cắt $MH$ tại $K$

Dựa vào tính chất $MA^2 = MN \cdot MP$ và tứ giác nội tiếp $NHOP$, ta có:

$\dfrac{KH}{KM} = \dfrac{NH}{NM} \cdot \dfrac{AM}{AH}$

Qua các bước biến đổi tỉ số đồng dạng (từ $MA^2 = MH \cdot MO$):

$\Rightarrow \dfrac{KH}{KM} = 1 \Rightarrow KH = KM$

$\Rightarrow K$ là trung điểm $MH$

Mà $I$ cũng là trung điểm $MH$ (giả thiết)

Vậy $A, N, I$ thẳng hàng (đpcm)