Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Biểu thức :

$M = \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + \left(\frac{-3}{2}\right)^3 + \left(\frac{-3}{2}\right)^4 + \dots + \left(\frac{-3}{2}\right)^{100}$

Ta có:

$\frac{-3}{2}M = \frac{-3}{2} \cdot \left[ \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + \left(\frac{-3}{2}\right)^3 + \dots + \left(\frac{-3}{2}\right)^{100} \right]$

$\Leftrightarrow \frac{-3}{2}M = \left(\frac{-3}{2}\right)^3 + \left(\frac{-3}{2}\right)^4 + \dots + \left(\frac{-3}{2}\right)^{100} + \left(\frac{-3}{2}\right)^{101}$

Lấy phương trình mới trừ đi phương trình ban đầu ($\frac{-3}{2}M - M$):

$\left(\frac{-3}{2} - 1\right)M = \left[ \left(\frac{-3}{2}\right)^3 + \dots + \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} \right] - \left[ \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + \dots + \left(\frac{-3}{2}\right)^{100} \right]$

Nhận thấy các số hạng từ mũ 3 đến mũ 100 đều giống nhau nên sẽ bị triệt tiêu hết. Ta chỉ còn lại:

$\frac{-5}{2}M = \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} - \left(\frac{-3}{2}\right)^2$

$<=>$$\frac{-5}{2}M = \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} - \frac{9}{4}$

$<=>$$M = \left[ \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} - \frac{9}{4} \right] : \left(\frac{-5}{2}\right)$

$<=>$$M = \left[ \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} - \frac{9}{4} \right] \cdot \left(\frac{-2}{5}\right)$

$<=>$$M = \frac{-2}{5} \cdot \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} + \frac{18}{20}$

$<=>$$M = \frac{-2}{5} \cdot \left(\frac{-3}{2}\right)^{101} + \frac{9}{10}$

Vậy:$M = \frac{9}{10} - \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{-3}{2}\right)^{101}$