Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi } x, y \text{ là hai số bất kỳ được xóa đi trên bảng và } z \text{ là số được viết thay thế.} \\
& z = \dfrac{xy}{x + y + 1} \\
& \dfrac{1}{z} = \dfrac{x + y + 1}{xy} \\
& \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{xy} \\
& \dfrac{1}{z} + 1 = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{xy} + 1 \\
& \dfrac{1}{z} + 1 = \left(\dfrac{1}{x} + 1\right)\left(\dfrac{1}{y} + 1\right) \\
& \text{Tích các biểu thức dạng } \left(\dfrac{1}{k} + 1\right) \text{ của tất cả các số } k \text{ trên bảng là một đại lượng không đổi sau mỗi lần thực hiện thao tác.} \\
& \text{Gọi } P \text{ là tích ban đầu của 2025 biểu thức tương ứng với 2025 số trên bảng:} \\
& P = \left(\dfrac{1}{1} + 1\right)\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} + 1\right)\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} + 1\right) ... \left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{2025}} + 1\right) \\
& P = (1 + 1)(2 + 1)(3 + 1) ... (2025 + 1) \\
& P = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2026 \\
& P = 2026! \\
& \text{Gọi } A \text{ là số cuối cùng còn lại trên bảng sau 2024 lần thực hiện thao tác.} \\
& \dfrac{1}{A} + 1 = P \\
& \dfrac{1}{A} + 1 = 2026! \\
& \dfrac{1}{A} = 2026! - 1 \\
& A = \dfrac{1}{2026! - 1} \\
& \text{Kết quả: Số cuối cùng còn lại trên bảng là } \dfrac{1}{2026! - 1}
\end{aligned}$