Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 b) Tính giá trị biểu thức $A$ (không giải phương trình)

 Áp dụng hệ thức Vi-ét:

+ Tổng nghiệm: $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{15}{3} = 5$

 +Tích nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$

Biểu thức cần tính:

$A = \underbrace{\frac{3x_1}{x_2 - 2} + \frac{3x_2}{x_1 - 2}}_{(1)} + \underbrace{3x_1^2 + 15x_2}_{(2)}$

- Phần phân thức (1):

$3 \left[ \frac{x_1(x_1 - 2) + x_2(x_2 - 2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} \right] = 3 \left[ \frac{x_1^2 + x_2^2 - 2(x_1 + x_2)}{x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4} \right]$

Thay $x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = 5^2 - 2 \cdot \frac{4}{3} = 25 - \frac{8}{3} = \frac{67}{3}$:

$\text{Tử số} = \frac{67}{3} - 2(5) = \frac{67}{3} - 10 = \frac{37}{3}$

$\text{Mẫu số} = \frac{4}{3} - 2(5) + 4 = \frac{4}{3} - 6 = -\frac{14}{3}$

Giá trị phần (1) là:

$3 \cdot \left( \frac{37/3}{-14/3} \right) = 3 \cdot \left( -\frac{37}{14} \right) = -\frac{111}{14}$.

 - Phần đa thức (2):

Vì $x_1$ là nghiệm của phương trình nên:

$3x_1^2 - 15x_1 + 4 = 0 \Rightarrow 3x_1^2 = 15x_1 - 4$.

Thay vào phần (2):

$3x_1^2 + 15x_2 = (15x_1 - 4) + 15x_2 = 15(x_1 + x_2) - 4$

$= 15(5) - 4 = 75 - 4 = 71$

$A = -\frac{111}{14} + 71 = \frac{-111 + 994}{14} = \frac{883}{14}$

Vậy: 

Giá trị của biểu thức là $A = \frac{883}{14}$.