Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xác định thiết diện của mặt phẳng } (P) \text{ với hình chóp } S.ABCD \text{:} \\
& \text{Trong mặt phẳng } (SAC) \text{, kẻ } AK \perp SC \text{ tại } K \text{.} \\
& \text{Gọi } I \text{ là giao điểm của } AK \text{ và } SO \text{.} \\
& \text{Do } ABCD \text{ là hình vuông nên } BD \perp AC \text{.} \\
& \text{Vì } SO \perp (ABCD) \text{ nên } SO \perp BD \text{.} \\
& BD \perp (SAC) \\
& \text{Trong mặt phẳng } (SBD) \text{, qua } I \text{ kẻ đường thẳng song song với } BD \text{, cắt } SB \text{ tại } M \text{ và cắt } SD \text{ tại } N \text{.} \\
& MN \parallel BD \\
& MN \perp (SAC) \\
& MN \perp SC \\
& AK \perp SC \\
& \text{Mặt phẳng } (AMKN) \text{ vuông góc với } SC \text{, do đó mặt phẳng } (P) \text{ chính là mặt phẳng } (AMKN) \text{.} \\
& \text{Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng } (P) \text{ là tứ giác } AMKN \text{.} \\
& \text{Tính diện tích thiết diện } AMKN \text{:} \\
& \text{Do } MN \perp (SAC) \text{ và } AK \subset (SAC) \text{ nên } MN \perp AK \text{ tại } I \text{.} \\
& S_{AMKN} = \dfrac{1}{2} \cdot AK \cdot MN \\
& \text{Đáy } ABCD \text{ là hình vuông cạnh } a \text{:} \\
& AC = BD = a\sqrt{2} \\
& OA = OC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\
& \text{Trong tam giác vuông } SOC \text{ vuông tại } O \text{:} \\
& SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} \\
& SC = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\
& SC = \sqrt{\dfrac{6a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4}} \\
& SC = \sqrt{\dfrac{8a^2}{4}} \\
& SC = a\sqrt{2} \\
& SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} \\
& SA = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\
& SA = a\sqrt{2} \\
& \text{Tam giác } SAC \text{ có } SA = SC = AC = a\sqrt{2} \text{ nên là tam giác đều.} \\
& \text{Đường cao } AK \text{ của tam giác đều } SAC \text{ cạnh } a\sqrt{2} \text{:} \\
& AK = a\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
& AK = \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \\
& \text{Trong tam giác } SAC \text{, hai đường cao } AK \text{ và } SO \text{ cắt nhau tại } I \text{ nên } I \text{ là trọng tâm tam giác } SAC \text{.} \\
& \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{2}{3} \\
& \text{Trong tam giác } SBD \text{ có } MN \parallel BD \text{:} \\
& \dfrac{MN}{BD} = \dfrac{SI}{SO} \\
& \dfrac{MN}{a\sqrt{2}} = \dfrac{2}{3} \\
& MN = \dfrac{2a\sqrt{2}}{3} \\
& S_{AMKN} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{2a\sqrt{2}}{3} \\
& S_{AMKN} = \dfrac{a^2\sqrt{12}}{6} \\
& S_{AMKN} = \dfrac{2a^2\sqrt{3}}{6} \\
& S_{AMKN} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{3} \\
& \text{Kết quả: Thiết diện là tứ giác } AMKN \text{, diện tích thiết diện là } \dfrac{a^2\sqrt{3}}{3}
\end{aligned}$