`a)` Xét $\triangle BCH$ và $\triangle BAH$ vuông tại $H$ có:

$BH$ chung

$BC = BA$ (do $\triangle ABC$ cân tại $B$)

$\Rightarrow \triangle BCH = \triangle BAH$ (cạnh huyền `-` cạnh góc vuông)

$\Rightarrow HC = HA$ (`2` cạnh tương ứng)

Mà $BH \perp AC$ tại $H$ (gt) $\Rightarrow BH$ là đường trung trực của $AC$

`b)` Vì $E \in BH$ (đường trung trực của $AC$)

$\Rightarrow EA = EC$   `(1)`

Xét $\triangle EBC$ có $EM$ là trung tuyến (gt), là đường cao ($EM \perp BC$)

$\Rightarrow \triangle EBC$ cân tại $E \Rightarrow EC = EB$   `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` $\Rightarrow EA = EB \Rightarrow \triangle EAB$ cân tại $E$

`c)` Tứ giác $EBKC$ có hai đường chéo $BC$ và $EK$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường

$\Rightarrow EBKC$ là hình bình hành

$\Rightarrow KC \parallel EB$ hay $KC \parallel BH$

Mà $BH \perp AC$ (gt) $\Rightarrow KC \perp AC$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

`d)`Gọi $I$ là trung điểm $DF$.

Cần chứng minh $EF > \dfrac{DF}{2} = IF$

Xét $\triangle EBF$ và $\triangle ECD$ có:

$EB = EC$ (cmt)

$\widehat{EBF} = \widehat{ECD}$ (do $EBKC$ là hbh $\Rightarrow EB \parallel KC$ và $\widehat{EBC} = \widehat{KCB}$, kết hợp tính chất đối xứng/góc)

Vì $\triangle EBC$ cân tại $E \Rightarrow \widehat{EBC} = \widehat{ECB}$

$BF = CD$ (gt).

$\Rightarrow \triangle EBF = \triangle ECD$ (c.g.c) $\Rightarrow EF = ED$

$\triangle EFD$ có $EF = ED \Rightarrow \triangle EFD$ cân tại $E$

Trong $\triangle EFD$ cân, gọi $H'$ là hình chiếu của $E$ lên $DF$, ta luôn có cạnh huyền $EF$ lớn hơn các cạnh góc vuông hoặc nửa cạnh đáy (theo BĐT tam giác): $EF + ED > DF \Rightarrow 2EF > DF$ (đpcm)