Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a. Ta có:} \\
& DN \perp AC, AB \perp AC \rightarrow AB // DN \\
& N \text{ là trung điểm } AC \\
& \rightarrow ND \text{ là đường trung bình } \Delta ABC \\
& \rightarrow D \text{ là trung điểm } BC \\
& \text{Ta có: } MN // BC, N \text{ là trung điểm } AC \\
& \rightarrow MN \text{ là đường trung bình } \Delta ABC \\
& \rightarrow M \text{ là trung điểm } AB \\
& \rightarrow MD \text{ là đường trung bình } \Delta ABC \\
& \rightarrow DM // AC \\
& \text{Do } AB \perp AC \\
& \rightarrow DM \perp AB \\
& \rightarrow \widehat{DMA} = \widehat{AND} = \widehat{NAM} = 90^\circ \\
& \rightarrow AMDN \text{ là hình chữ nhật} \\
& \rightarrow DN // AM, DN = AM \\
& \rightarrow DN // BM, DN = BM \\
& \rightarrow BMND \text{ là hình bình hành} \\

\end{aligned}$

b.Ta có:

$MN//BC, N$ là trung điểm $AC$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to M$ là trung điểm $AB$

Ta có:

$AB\perp AC, MD\perp AB$

$\to DM//AC$

Mà $M$ là trung điểm $AB$

$\to DM$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to D$ là trung điểm $BC$

Ta có: 

$MK\cap BC=D$ là trung điểm mỗi đường

$\to BMCK$ là hình bình hành

$\to BM//KC, BM=CK$

Do $M$ là trung điểm $AB$

$\to AM=MB$

$\to CK//AM, CK=AM$

$\to AMKC$ là hình bình hành

Vì $AB\perp AC\to AM\perp AC$

$\to AMKC$ là hình chữ nhật

Gọi $AK\cap CM=O$

$\to O$ là trung điểm $KA, MC, OA=OK=OM=OC=\dfrac12AK=\dfrac12MC$

Vì $MH\perp BC$

$\to \Delta MHC$ vuông tại $H$

Do $O $là trung điểm $MC$

$\to OH=OM=OC=\dfrac12MC$

$\to OH=OA=OK=\dfrac12AK$

$\to \Delta HAK$ vuông tại $H$

$\to AH\perp HK$

c.Vì $ND$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to DN//AB, DN=\dfrac12AB$

$\to DN//AM, DN=AM$

$\to AMDN$ là hình bình hành

$\to DM//AN,DM=AN$

$\to DM//CN,DM=CN$ 

$\to MNCD$là hình bình hành

$\to CM\cap DN$ tại trung điểm mỗi đường

Do $O$ là trung điểm $ND$

$\to O$ là trung điểm $CM$
$\to M,O, C$ thẳng hàng

Ta có:

$AD, BN$ là trung tuyến $\Delta ABC$

$AD\cap BN=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

Do $M$ là trung điểm $AB$

$\to C, G, M$ thẳng hàng

$\to C, O, G, M$ thẳng hàng

$\to G, O, C$ thẳng hàng

$\begin{aligned}
& \text{d. Vì } ME \text{ là phân giác } \widehat{BMN} \\
& \rightarrow \dfrac{EB}{EN} = \dfrac{MB}{MN} \\
& \text{Vì } BMND \text{ là hình bình hành } \rightarrow MN = BD, MB = ND \\
& \rightarrow \dfrac{EB}{EN} = \dfrac{DN}{MN} \\
& \rightarrow BE \cdot MN = DN \cdot EN \\
& \text{Ta có: } NF \text{ là phân giác } \widehat{MND} \\
& \rightarrow \dfrac{FM}{FD} = \dfrac{MN}{ND} \\
& \text{Ta có: } BE \cdot MN = DN \cdot EN \\
& \rightarrow \dfrac{MN}{DN} = \dfrac{EN}{BE} \\
& \rightarrow \dfrac{EN}{EB} = \dfrac{FM}{FD} \\
& \rightarrow \dfrac{EN}{EB} = \dfrac{FM}{FD} = \dfrac{FN}{FG'} \\
& \rightarrow EF // G'B \\
& \rightarrow EF // G'D
\end{aligned}$