Đáp án + Giải thích các bước giải:

Kẻ $AH \bot BD, H \in BD$

$\Rightarrow AH \subset (ABCD)$

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $DD' \bot (ABCD)$

$\Rightarrow DD' \bot AH$

Mà $AH \bot BD, BD \cap DD' = D$

$\Rightarrow AH \bot (BDD')$

Mà $BB' // DD' \Rightarrow BB', DD'$ đồng phẳng

$\Rightarrow B' \in (BDD')$

$\Rightarrow AH \bot(BDD'B')$

$\Rightarrow d(A, (BDD'B')) = AH$

$\triangle ABD$ vuông tại $A$ có $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^2 + a^2} = 2a$

Mà $AB \cdot AD = AH \cdot BD = 2S_{\triangle ABD}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB \cdot AD}{BD} = \dfrac{a\sqrt{3} \cdot a}{2a} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d(A, (BDD'B')) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$