EM THAM KHẢO :

$\textbf{b) } f(x,y) = xy - 2x - 2y - x^2 - y^2$

$\Rightarrow f_x = y - 2 - 2x$

$\Rightarrow f_y = x - 2 - 2y$

$\text{Xét hệ phương trình: }$

$\begin{cases} -2x + y - 2 = 0 \\ x - 2y - 2 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} y = 2x + 2 \\ x - 2(2x + 2) - 2 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} y = 2x + 2 \\ -3x - 6 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = -2 \end{cases}$

$\Rightarrow M(-2; -2) \text{ là điểm dừng}$

$\Rightarrow f_{xx} = -2$

$\Rightarrow f_{xy} = 1$

$\Rightarrow f_{yy} = -2$

$\text{Xét } M(-2; -2):$

$A = f_{xx}(-2; -2) = -2$

$B = f_{xy}(-2; -2) = 1$

$C = f_{yy}(-2; -2) = -2$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 1^2 - (-2)(-2) = -3 < 0$

$A = -2 < 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại } M(-2; -2)$

$\Rightarrow f_{\text{CĐ}} = f(-2; -2) = 4$

$\textbf{f) } f(x,y) = y^3 + 3x^2y - 6x^2 - 6y^2 + 2$

$\Rightarrow f_x = 6xy - 12x$

$\Rightarrow f_y = 3y^2 + 3x^2 - 12y$

$\text{Xét hệ phương trình: }$

$\begin{cases} 6xy - 12x = 0 \\ 3x^2 + 3y^2 - 12y = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 6x(y - 2) = 0 \\ x^2 + y^2 - 4y = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = 0 \\ y^2 - 4y = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} y = 2 \\ x^2 + 2^2 - 4(2) = 0 \end{cases} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x = 0 \\ y(y - 4) = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} y = 2 \\ x^2 - 4 = 0 \end{cases} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (x; y) = (0; 0) \\ (x; y) = (0; 4) \\ (x; y) = (2; 2) \\ (x; y) = (-2; 2) \end{array} \right.$

$\Rightarrow M_1(0; 0), M_2(0; 4), M_3(2; 2), M_4(-2; 2) \text{ là các điểm dừng}$

$\Rightarrow f_{xx} = 6y - 12$

$\Rightarrow f_{xy} = 6x$

$\Rightarrow f_{yy} = 6y - 12$

$\text{Xét } M_1(0; 0):$

$A = -12, B = 0, C = -12$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 0^2 - (-12)(-12) = -144 < 0$

$A = -12 < 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại } M_1(0; 0)$

$\Rightarrow f_{\text{CĐ}} = f(0; 0) = 2$

$\text{Xét } M_2(0; 4):$

$A = 12, B = 0, C = 12$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 0^2 - 12 \cdot 12 = -144 < 0$

$A = 12 > 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại } M_2(0; 4)$

$\Rightarrow f_{\text{CT}} = f(0; 4) = -30$

$\text{Xét } M_3(2; 2):$

$A = 0, B = 12, C = 0$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 12^2 - 0 \cdot 0 = 144 > 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại } M_3(2; 2)$

$\text{Xét } M_4(-2; 2):$

$A = 0, B = -12, C = 0$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = (-12)^2 - 0 \cdot 0 = 144 > 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại } M_4(-2; 2)$

$\textbf{g) } f(x,y) = 3x - x^3 - 2y^2 + y^4$

$\Rightarrow f_x = 3 - 3x^2$

$\Rightarrow f_y = -4y + 4y^3$

$\text{Xét hệ phương trình: }$

$\begin{cases} 3 - 3x^2 = 0 \\ -4y + 4y^3 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 = 1 \\ 4y(y^2 - 1) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = -1 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} y = 0 \\ y = 1 \\ y = -1 \end{array} \right. \end{cases}$

$\Rightarrow \text{Các điểm dừng: } N_1(1; 0), N_2(1; 1), N_3(1; -1), N_4(-1; 0), N_5(-1; 1), N_6(-1; -1)$

$\Rightarrow f_{xx} = -6x$

$\Rightarrow f_{xy} = 0$

$\Rightarrow f_{yy} = -4 + 12y^2$

$\text{Xét } N_1(1; 0):$

$A = -6, B = 0, C = -4$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 0^2 - (-6)(-4) = -24 < 0$

$A = -6 < 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại } N_1(1; 0)$

$\Rightarrow f_{\text{CĐ}} = f(1; 0) = 2$

$\text{Xét } N_2(1; 1) \text{ và } N_3(1; -1):$

$A = -6, B = 0, C = 8$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 0^2 - (-6)(8) = 48 > 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại } N_2(1; 1) \text{ và } N_3(1; -1)$

$\text{Xét } N_4(-1; 0):$

$A = 6, B = 0, C = -4$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 0^2 - (6)(-4) = 24 > 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại } N_4(-1; 0)$

$\text{Xét } N_5(-1; 1) \text{ và } N_6(-1; -1):$

$A = 6, B = 0, C = 8$

$\Rightarrow \Delta = B^2 - AC = 0^2 - (6)(8) = -48 < 0$

$A = 6 > 0$

$\Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại } N_5(-1; 1) \text{ và } N_6(-1; -1)$

$\Rightarrow f_{\text{CT}} = f(-1; \pm 1) = -3$

$\textbf{PHƯƠNG PHÁP}$

$\text{Xét hàm số } z = f(x,y)$

$\text{Tính các đạo hàm riêng bậc nhất: } f_x \text{ và } f_y$

$\text{Giải hệ phương trình tìm các điểm dừng:}$

$\begin{cases} f_x = 0 \\ f_y = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \text{Giả sử tìm được điểm dừng } M(x_0; y_0)$

$\text{Tính các đạo hàm riêng bậc hai: } f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$

$\text{Tại mỗi điểm dừng } M(x_0; y_0) \text{, xét các giá trị:}$

$A = f_{xx}(x_0; y_0)$

$B = f_{xy}(x_0; y_0)$

$C = f_{yy}(x_0; y_0)$

$\Delta = B^2 - AC$

$\text{Nếu } \Delta < 0 \text{ và } A < 0 \Rightarrow \text{Hàm số đạt cực đại tại } M(x_0; y_0)$

$\text{Nếu } \Delta < 0 \text{ và } A > 0 \Rightarrow \text{Hàm số đạt cực tiểu tại } M(x_0; y_0)$

$\text{Nếu } \Delta > 0 \Rightarrow \text{Hàm số không đạt cực trị tại } M(x_0; y_0)$

$\text{Nếu } \Delta = 0 \Rightarrow \text{TH này chưa thể kết luận}$