Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Xét tứ giác } ADEC \text{ có } \widehat{ADC} = \widehat{AEC} = 90^\circ \\
& \Rightarrow \text{Hai góc } \widehat{ADC}, \widehat{AEC} \text{ cùng nhìn } AC \text{ dưới một góc vuông.} \\
& \Rightarrow \text{Tứ giác } ADEC \text{ nội tiếp đường tròn đường kính } AC. \\
& \text{b) Kéo dài } BH \text{ cắt } AC \text{ tại } K. \\
& \text{Xét hai tam giác } \Delta ABK \text{ và } \Delta ACD \\
& \text{Ta có,} \\
& \begin{cases} \widehat{A} \text{ chung} \\ \widehat{AKB} = \widehat{ADC} = 90^\circ \end{cases} \Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta ACD (g-g) \\
& \Rightarrow \widehat{ABK} = \widehat{ACD} \quad (1) \\
& \text{Xét tứ giác nội tiếp đường tròn } ADEC \text{ có } \widehat{DEA} = \widehat{DCA} \text{ (Cùng nhìn cung } DA) \quad (2) \\
& \text{Từ (1) và (2) } \Rightarrow \widehat{ABK} = \widehat{DEA} \text{ (đpcm)} \\
& +) \text{ Chứng minh } DE \cdot BC = DC \cdot BM. \\
& \text{Xét } \Delta DEC \text{ và } \Delta BMC \text{ có,} \\
& \begin{cases} \widehat{EDC} = \widehat{EAC} \\ \widehat{MBC} = \widehat{MAC} ( = \widehat{EAC}) \end{cases} \Rightarrow \widehat{EDC} = \widehat{MBC} \quad (3) \\
& \begin{cases} \widehat{DAE} = \widehat{DCE} \\ \widehat{DAE} = \widehat{BAM} = \widehat{BCM} \end{cases} \Rightarrow \widehat{DCE} = \widehat{BCM} \quad (4) \\
& \text{Từ (3) và (4) } \Rightarrow \Delta DEC \sim \Delta BMC \Rightarrow DE \cdot BC = DC \cdot BM. \\
& \text{c) Kéo dài } DE \text{ cắt } BM \text{ tại } F \text{, chứng minh rằng } DF \text{ luôn đi qua một điểm cố định và } KF \parallel AM. \\
& \text{Kéo dài } AH \text{ cắt } BC \text{ tại } N, DF \text{ cắt } BC \text{ tại } I \text{. Khi đó } A, D, N, E, C \text{ nằm trên một đường tròn đường kính } AC. \\
& \text{Ta có: } \widehat{DAN} = \widehat{DCI}, \widehat{CDI} = \widehat{CAE} \quad (5) \\
& \widehat{CAE} = \widehat{CBM} \text{ (cùng chắn cung } \widehat{CM} \text{);} \quad (6) \\
& \widehat{CBM} = \widehat{DAN} \text{ (cùng phụ với góc } \widehat{ABN} \text{).} \quad (7) \\
& \text{Từ (5), (6), (7) ta thu được } \widehat{CDI} = \widehat{DCI} \text{, tam giác } DCI \text{ cân tại } I \text{ nên } ID = IC. \\
& \text{Dễ dàng chứng minh được tam giác } IBD \text{ cân tại } I \text{ nên } IB = ID \\
& \text{Vậy } IB = IC \text{ nên suy ra } DF \text{ luôn đi qua điểm } I \text{ cố định là trung điểm của } BC. \\
& \text{Ta có góc } \widehat{DBM} = 90^\circ \text{ (chắn nửa đường tròn) nên } BF \parallel CD \text{ (cùng vuông góc với } AB \text{). Xét tam giác } DIC \text{ và tam giác } FIB \text{ có:} \\
& \widehat{DIC} = \widehat{BIF}; \\
& \widehat{DCI} = \widehat{IBF} \text{ (so le trong, } BF \parallel CD \text{);} \\
& IB = IC. \\
& \text{Suy ra } \Delta DIC = \Delta FIB \text{ (g-c-g), do đó } IF = ID \text{. Ta thu được } IB = IC = ID = IF. \\
& \text{Suy ra tam giác } BFC \text{ vuông tại } F \text{. Vì vậy góc } \widehat{CFB} = 90^\circ. \\
& \text{Xét tứ giác } BKCF \text{ có } \widehat{BKC} + \widehat{BFC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \text{, nên tứ giác } BKCF \text{ nội tiếp. Nên góc } \widehat{FBC} = \widehat{FKC} \text{ (cùng chắn cung } \widehat{CF} \text{). Kết hợp với } \widehat{FBC} = \widehat{MAC} \text{ (cùng chắn cung } \widehat{CM} \text{). Ta thu được } \widehat{FKC} = \widehat{MAC} \text{. Do đó } KF \parallel AM.
\end{aligned}$