Câu 5: Một tấm bạt hình vuông có độ dài đường chéo bằng 15 m như hình vẽ dưới đây. Người ta dự tính cắt
phần tô đậm của tấm bạt rồi gập và may lại (các đườ

Question

Mn giúp mình câu này với ạ

phuonglinh0888 · Answer

Gọi tấm bạt hình vuông ban đầu là $ABCD$. Đường chéo $d = AC = 15 	ext{ m}$
Diện tích toàn bộ tấm bạt: $S_{tổng} = \frac{d^2}{2} = \frac{15^2}{2} = 112,5 	ext{ m}^2$
Độ dài từ tâm tấm bạt đến đỉnh (nửa đường chéo): $R = \frac{15}{2} = 7,5 	ext{ m}$
Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm tấm bạt đến trung điểm cạnh đáy khối chóp ($0 
Khi đó, đáy khối chóp là hình vuông có cạnh bằng $2x$
Diện tích đáy khối chóp: $S_đ = (2x)^2 = 4x^2$
Trung đoạn của khối chóp (đường cao mặt bên) là đoạn nối từ đỉnh tấm bạt đến trung điểm cạnh đáy: $h_m = 7,5 - x$
Chiều cao $h$ của khối chóp được tính theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, trung đoạn và khoảng cách $x$:
$$h = \sqrt{h_m^2 - x^2} = \sqrt{(7,5 - x)^2 - x^2} = \sqrt{56,25 - 15x}$$
Thể tích khối chóp tứ giác đều là:
$$V(x) = \frac{1}{3} S_đ \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4x^2 \cdot \sqrt{56,25 - 15x} = \frac{4}{3} \sqrt{x^4(56,25 - 15x)}$$
Để $V$ lớn nhất, ta xét hàm số $f(x) = x^4(56,25 - 15x) = 56,25x^4 - 15x^5$ trên khoảng $(0; 3,75)$.
Đạo hàm:
$f'(x) = 225x^3 - 75x^4 = 75x^3(3 - x)$
Cho $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$ (thỏa mãn điều kiện)
Khi $x = 3 	ext{ m}$:
Cạnh đáy khối chóp: $a = 2x = 6 	ext{ m}$
Diện tích đáy: $S_đ = 6^2 = 36 	ext{ m}^2$
Trung đoạn (chiều cao mặt bên): $h_m = 7,5 - 3 = 4,5 	ext{ m}$
Diện tích xung quanh (4 mặt bên): $S_{xq} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4,5 ight) = 54 	ext{ m}^2$
Tổng diện tích bạt được giữ lại để tạo hình chóp (bao gồm đáy và các mặt bên):
$S_{giữ} = S_đ + S_{xq} = 36 + 54 = 90 	ext{ m}^2$
Diện tích phần tấm bạt bị cắt bỏ (phần tô đậm ở 4 góc):
$S_{cắt} = S_{tổng} - S_{giữ} = 112,5 - 90 = 22,5 	ext{ m}^2$
Diện tích tấm bạt bị cắt là 22,5 m²

weisakjuhns · Answer

Đáp án:
 
Giải thích các bước giải:
Đặt cạnh tấm bạt hình vuông là $a$
Đường chéo bằng $15\ 	ext{m}$
$⇒a=\dfrac{15}{\sqrt{2}}\ 	ext{m}$
Gọi $O$ là tâm hình vuông lớn, hình vuông nhỏ ở giữa có các đỉnh:
$M(0,x),\ N(x,0),\ P(0,-x),\ Q(-x,0),\ 0
Chọn hệ trục tọa độ với:$\left\{\begin{aligned}&A\left(-\frac a2,\frac a2ight)\&B\left(\frac a2,\frac a2ight)\&C\left(\frac a2,-\frac a2ight)\&D\left(-\frac a2,-\frac a2ight)\end{aligned}ight.$
Khi gấp lại, phần còn lại là lưới của $1$ hình chóp tứ giác đều:
Đáy là hình vuông $MNPQ$
$4$ mặt bên là $ΔAQM,\ ΔBMN,\ ΔCNP,\ ΔDPQ$
$MN=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}$
$⇒S_{	ext{đáy}}=(x\sqrt{2})^2=2x^2$
$AM^2=\left(\dfrac{a}{2}ight)^2+\left(\dfrac{a}{2}-xight)^2$
Bán kính ngoại tiếp đáy$:\ OM=x$
$⇒h^2=AM^2-OM^2$
$⇒h^2=\left(\dfrac{a}{2}ight)^2+\left(\dfrac{a}{2}-xight)^2-x^2$
$⇒h^2=\dfrac{a^2}{2}-ax$
$⇒V(x)=\dfrac{1}{3}·2x^2·\sqrt{\dfrac{a^2}{2}-ax}$
Xét $V^2(x)=\dfrac{4}{9}x^4\left(\dfrac{a^2}{2}-axight)$
$f(x)=x^4\left(\dfrac{a}{2}-xight)$
$⇒f'(x)=4x^3\left(\dfrac{a}{2}-xight)-x^4$
$⇒f'(x)=x^3(2a-5x)$
$f'(x)=0⇔\left\{\begin{aligned}&x=0\&x=\dfrac{2a}{5}\end{aligned}ight.$
$0
$S_{AQM}=\dfrac{1}{2}\left|x_{\overrightarrow{AQ}}y_{\overrightarrow{AM}}-y_{\overrightarrow{AQ}}x_{\overrightarrow{AM}}ight|=\dfrac{1}{2}(ax-x^2)$
$⇒S_{	ext{còn lại}}=S_{MNPQ}+4S_{AQM}$
$⇒S_{	ext{còn lại}}=2x^2+4·\dfrac{1}{2}(ax-x^2)=2ax$
$x=\dfrac{2a}{5}⇒S_{	ext{còn lại}}=\dfrac{4a^2}{5}$
$S_{	ext{vuông}}=a^2$  (diện tích tấm bạt ban đầu)
$⇒S_{	ext{cắt}}=a^2-\dfrac{4a^2}{5}=\dfrac{a^2}{5}$
$a=\dfrac{15}{\sqrt{2}}⇒a^2=\dfrac{225}{2}$
$⇒S_{	ext{cắt}}=\dfrac{1}{5}·\dfrac{225}{2}=22,5\ 	ext{m}^2$

Mn giúp mình câu này với ạ

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Mn giúp mình câu này với ạ

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?