Áp dụng bắt Cauchy (nếu có thể) và vẽ hình giúp em với ạ, em cảm ơn
Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ABCD. Trên mảnh đất đó người ta làm sân

Question

Áp dụng bắt Cauchy (nếu có thể) và vẽ hình giúp em với ạ, em cảm ơn

Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ABCD. Trên mảnh đất đó người ta làm sân có dạng tử giác EFGH sao cho: E, F, G, H lần lượt trên các cạnh AB, BC, CD, DA và AE = AH = CF = CG. Tìm diện tích lớn nhất của sân biết AB = 40m, BC = 20m.

Calculus123 · Answer

EM THAM KHẢO :
Gọi $x \ (m)$ là độ dài đoạn $AE$
$AE = AH = CF = CG = x$
đk: $0 \le x \le 20$
Suy ra :
$BE = AB - AE = 40 - x$
$BF = BC - CF = 20 - x$
$DG = CD - CG = 40 - x$
$DH = AD - AH = 20 - x$
$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 40 \cdot 20 = 800$
diện tích 2 tam giác vuông $	riangle AEH$ và $	riangle CGF$:
$S_1 = \dfrac{1}{2}AE \cdot AH + \dfrac{1}{2}CG \cdot CF$
$= \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x^2 = x^2$
diện tích 2 tam giác vuông $	riangle BEF$ và $	riangle DGH$:
$S_2 = \dfrac{1}{2}BE \cdot BF + \dfrac{1}{2}DG \cdot DH$
$= \dfrac{1}{2}(40 - x)(20 - x) + \dfrac{1}{2}(40 - x)(20 - x)$
$= (40 - x)(20 - x)$
$= 800 - 60x + x^2$
Diện tích tứ giác $EFGH$:
$S = S_{ABCD} - (S_1 + S_2)$
$= 800 - (x^2 + 800 - 60x + x^2)$
$= 800 - (2x^2 - 60x + 800)$
$= -2x^2 + 60x$
Ta có:
$S_{EFGH} = -2x^2 + 60x= 2x(30 - x)$
Vì $0 \le x \le 20$ nên $x \ge 0$ và  0" data-index-in-node="85">$30 - x > 0$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có :
$x(30 - x) \le \left( \dfrac{x + 30 - x}{2} ight)^2$
$x(30 - x) \le 15^2$
$x(30 - x) \le 225$
$\Rightarrow 2x(30 - x) \le 450$
$\Rightarrow S_{EFGH} \le 450$
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x = 30 - x$
$\Leftrightarrow x = 15$ (thỏa mãn đk)
Vậy diện tích lớn nhất của sân là $450 \ (m^2)$

hangbich · Answer

Giải thích các bước giải:
$\begin{aligned}& 	ext{Gọi độ dài các đoạn thẳng bằng nhau là: AE = AH = CF = CG = x (mét)} \& 	ext{Vì các điểm E, F, G, H nằm trên các cạnh của hình chữ nhật nên điều kiện của x là: 0 & 	ext{Độ dài các đoạn thẳng còn lại trên các cạnh hình chữ nhật là:} \& BE = AB - AE = 40 - x 	ext{ (mét)} \& BF = BC - CF = 20 - x 	ext{ (mét)} \& DG = CD - CG = 40 - x 	ext{ (mét)} \& DH = AD - AH = 20 - x 	ext{ (mét)} \& 	ext{Diện tích hình chữ nhật ABCD ban đầu là: } S_{ABCD} = 40 \cdot 20 = 800 	ext{ (mét vuông)} \& 	ext{Diện tích sân EFGH bằng diện tích ABCD trừ đi tổng diện tích bốn tam giác vuông ở bốn góc:} \& S_{EFGH} = S_{ABCD} - (S_{AEH} + S_{BEF} + S_{CFG} + S_{DGH}) \& S_{EFGH} = 800 - \left( \dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot AH + \dfrac{1}{2} \cdot BE \cdot BF + \dfrac{1}{2} \cdot CF \cdot CG + \dfrac{1}{2} \cdot DG \cdot DH ight) \& S_{EFGH} = 800 - \left( \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x + \dfrac{1}{2} \cdot (40 - x)(20 - x) + \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x + \dfrac{1}{2} \cdot (40 - x)(20 - x) ight) \& S_{EFGH} = 800 - [ x^2 + (40 - x)(20 - x) ] \& S_{EFGH} = 800 - (x^2 + 800 - 20x - 40x + x^2) \& S_{EFGH} = 800 - (2x^2 - 60x + 800) \& S_{EFGH} = -2x^2 + 60x \& 	ext{Để tìm diện tích lớn nhất, ta biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một hiệu:} \& S_{EFGH} = -2(x^2 - 30x) \& S_{EFGH} = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 15 + 225 - 225) \& S_{EFGH} = -2(x - 15)^2 + 450 \& 	ext{Vì } (x - 15)^2 \ge 0 	ext{ với mọi x nên } -2(x - 15)^2 \le 0 \& 	ext{Suy ra } S_{EFGH} \le 450 	ext{ với mọi x} \& 	ext{Dấu bằng xảy ra khi } x - 15 = 0 \Leftrightarrow x = 15 	ext{ (thỏa mãn điều kiện 0 & 	ext{Kết quả: Diện tích lớn nhất của sân EFGH là 450 mét vuông khi x = 15m.}\end{aligned}$

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?