EM THAM KHẢO :

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:

$\dfrac{1}{2}x^2 = mx + 2$

$\Leftrightarrow x^2 - 2mx - 4 = 0 \quad (1)$

Ta có $\Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (-4) = m^2 + 4$

Vì $m^2 \ge 0$ với mọi $m$ nên $\Delta' = m^2 + 4 > 0$ với mọi $m$

$\Rightarrow$ Phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$

$\Rightarrow (d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \\ x_1x_2 = -4 \end{cases}$

Gọi $C$ là giao điểm của đường thẳng $(d)$ và trục tung $Oy$

Thay $x = 0$ vào phương trình $(d) \Rightarrow y = m \cdot 0 + 2 = 2 \Rightarrow C(0; 2)$

$\Rightarrow OC = |2| = 2$

Diện tích tam giác $OAB$ là:

$S_{OAB} = S_{OAC} + S_{OBC}$

$\Leftrightarrow S_{OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot |x_1| + \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot |x_2|$

$\Leftrightarrow S_{OAB} = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot (|x_1| + |x_2|)$

$\Leftrightarrow S_{OAB} = |x_1| + |x_2|$

Theo đề bài: $S_{OAB} = 5$

$\Leftrightarrow |x_1| + |x_2| = 5$

$\Leftrightarrow (|x_1| + |x_2|)^2 = 25$

$\Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2|x_1x_2| = 25$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2|x_1x_2| = 25$

Thay hệ thức Vi-ét vào biểu thức trên:

$(2m)^2 - 2(-4) + 2|-4| = 25$

$\Leftrightarrow 4m^2 + 8 + 8 = 25$

$\Leftrightarrow 4m^2 + 16 = 25$

$\Leftrightarrow 4m^2 = 9$

$\Leftrightarrow m^2 = \dfrac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \dfrac{3}{2} \\ m = -\dfrac{3}{2} \end{array} \right.$

Vậy $m \in \left\{ \dfrac{3}{2}; -\dfrac{3}{2} \right\}$