EM THAM KHẢO :

$x^2 - 4x + n - 2 = 0$

Để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì $\Delta' \ge 0$

$\Leftrightarrow (-2)^2 - 1.(n - 2) \ge 0$

$\Leftrightarrow 4 - n + 2 \ge 0$

$\Leftrightarrow 6 - n \ge 0$

$\Leftrightarrow n \le 6$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1x_2 = n - 2 \end{cases}$

Theo đề bài: $x_1(2x_1 + x_2) - 8 = 4n + (x_2 - 4)^2$

Từ $x_1 + x_2 = 4 \Rightarrow x_2 - 4 = -x_1$

Thay $(x_2 - 4)^2 = (-x_1)^2 = x_1^2$ vào biểu thức

$x_1(2x_1 + x_2) - 8 = 4n + x_1^2$

$\Leftrightarrow 2x_1^2 + x_1x_2 - 8 = 4n + x_1^2$

$\Leftrightarrow x_1^2 + x_1x_2 = 4n + 8$

$\Leftrightarrow x_1(x_1 + x_2) = 4n + 8$

Thay $x_1 + x_2 = 4$ vào biểu thức trên:

$x_1 . 4 = 4n + 8$

$\Leftrightarrow x_1 = n + 2$

Thay $x_1 = n + 2$ vào phương trình $x_1 + x_2 = 4$

$n + 2 + x_2 = 4$

$\Leftrightarrow x_2 = 2 - n$

Thay $x_1 = n + 2$ và $x_2 = 2 - n$ vào phương trình $x_1x_2 = n - 2$

$(n + 2)(2 - n) = n - 2$

$\Leftrightarrow 4 - n^2 = n - 2$

$\Leftrightarrow n^2 + n - 6 = 0$

$\Leftrightarrow n^2 + 3n - 2n - 6 = 0$

$\Leftrightarrow n(n + 3) - 2(n + 3) = 0$

$\Leftrightarrow (n - 2)(n + 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n - 2 = 0 \\ n + 3 = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 2 \\ n = -3 \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy $n \in \{2; -3\}$