Đáp án:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Gọi $AD$ là đường kính của $(O)$.

Dễ thấy $AB\,\bot\,BD,AC\,\bot\,AD$

Mà $H$ trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow CH\,\bot\,AB,BH\,\bot\,AC$

$\Rightarrow CH//BD,BH//CD\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $HD$.

Mà $O$ là trung điểm $AD$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của $\Delta AHD\Rightarrow AH=2OM$.

Gọi $N$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$

Dễ thấy $ABNC$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB//NC,AC//NB$ mà $CH\,\bot\,AB,BH\,\bot\,AC$

$\Rightarrow NC\,\bot\,HC,NB\,\bot\,HB$

$\Rightarrow\Delta BHN$ và $\Delta CHN$ vuông tại $B,C$ có chung cạnh huyền $HN$

$\Rightarrow BHCN$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $HN$.

Gọi $I$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BHCN$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $HN$

Mà $M$ là trung điểm của $AN$

$\Rightarrow IM$ là đường trung bình của $\Delta AHN\Rightarrow AH=2MI$.

$\Rightarrow 2MN=2OM\Rightarrow MI=OM$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $OI$

$\Rightarrow I$ đối xứng với $O$ qua $BC\Rightarrow BI=BO$

Ta có $O$ cố định $\Rightarrow I$ cố định.

Mà $B$ đối định $\Rightarrow BI$ cố định

$\Rightarrow$ Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BHCN$ cố định

$\Rightarrow H$ luôn nằm trên đường tròn cố định.