Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) CM : 4 điểm K, E, B, I cùng thuộc 1 đường tròn.

`K ∈ CD` suy ra `KI ⊥AB` do đó `ΔKIB` vuông tại `I`

`\hat{AEB} = 90^0` ( góc chắn đường kính `AB`) `⇒ ΔKEB` vuông tại `E`

Gọi `F` là trung điểm `KB ⇒FI,FE` là đg trung tuyến `ΔKIB` và `ΔKEB`

`⇒FI=FE=FK=FB=1/2KB`( đg trung tuyến = 1/2 cạnh huyền)

Suy ra `4` điểm `K, E, B, I` cùng thuộc 1 đường tròn.

b) CM: AK. AE = AI. AB.

+ Xét `ΔAIK` và `ΔAEB` có

`\hat{AIK} =\hat{AEB} = 90^0`

`\hat{BAE}` chung

Suy ra `ΔAIK` đồng dạng `ΔAEB ( g.g)`

Do đó `(AI)/(AE) = (AK)/(AB) ⇒ AK.AE = AI.AB`

c) CM: IK là phân giác ` \hat{EIQ}` ; OQ là tiếp tuyến (ΔPQE).

`4` điểm `K,E,B,I` cùng `∈ 1` đường tròn ⇒ tứ giác `KEBI` nội tiếp

Suy ra `\hat{KIE} =\hat{KBE}` ( cùng chắn `KE`)

Hay `\hat{KIE} = \hat{QBE}` ( do `K ∈ BQ`) `(1)`

+ Xét `ΔPAB` có `PI ⊥AB; AE ⊥BP` suy ra `PI,AE` là 2 đg cao `ΔPAB`

Suy ra `K` là trực tâm `ΔPAB ⇒ QB` cũng là đường cao `ΔPAB`

Do đó `BQ ⊥AP ⇒ \hat{BQB} = 90^0 ⇒ Q ∈ (O)`

`ΔAQK` vuông tại `Q` suy ra `A, Q, K` cùng ∈ đường tròn đk `AK`

`ΔAIK` vuông tại `I` suy ra `A, I,K` cùng ∈ đường tròn đk `AK`

`⇒ 4` điểm `A,I,K,Q` cùng `∈ 1` đường tròn ⇒ tứ giác `AIKQ` nội tiếp.

Do đó `\hat{KIQ} = \hat{KAQ}` ( cùng chắn `KQ`)

Hay `\hat{KIQ} = \hat{EAQ} ( K ∈ AE)`

Mà `\hat{EAQ} = \hat{QBE}` ( cùng chắn `EQ`) ⇒ ` \hat{KIQ} = \hat{QBE} (2)`

Tứ (1) và (2) suy ra `\hat{KIE} = \hat{KIQ} ⇒ IK` là phân giác `\hat{EIQ}`

+ Gọi `J` là trung điểm `PK ⇒JE,JQ` là đg trung tuyến `ΔPEK` và `ΔPQK`

`⇒ JE=JQ=JP=JK =1/2PK`( đường trung tuyến =1/2 cạnh huyền)

`⇒` 4 điểm `P,E,K,Q` cùng `∈` đường tròn `(J; (PK)/2)` 

Do đó `J` là tâm đường tròn ngoại tiếp `ΔPQE` 

+ `JQ=JK (cmt)` suy ra `ΔQJK` cân tại `J ⇒ \hat{JQK} =\hat{JKQ}`

Mà `\hat{JKQ} = \hat{IKB}` (đối đỉnh) `⇒\hat{JQK} =\hat{IKB}`

Lại có `\hat{IKB} + \hat{IBK} = 90^0` (`ΔKIB` vuông tại `I`)

Hay `\hat{JQK} + \hat{OBQ}  =90^0 (O ∈ IB; K ∈QB)`

Do `OB = OQ` (bán kính)`⇒ΔBOQ` cân tại `O ⇒ \hat{OBQ} =\hat{OQB}`

Suy ra `\hat{JQK} + \hat{OQB} = 90^0  ⇒ JQ ⊥ QO`

Do đó `OQ` là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp `ΔPQE`