Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Vì $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Vì $BE\perp AC,CF\perp AB, BE\cap CF=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AH\perp BC$

$\to \widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^o$

$\to ACDF$ nội tiếp 

$\to \widehat{BFD}=\widehat{ACD}=\widehat{ECB}=\widehat{AFE}$

$\to \widehat{EFC}=90^o-\widehat{AFE}=90^o-\widehat{BFD}=\widehat{DFH}$

Mà $\widehat{FDH}=\widehat{ADF}=\widehat{ACF}=\widehat{FCE}$

$\to \Delta FEC\sim\Delta FHD(g.g)$

$\to \dfrac{FE}{FH}=\dfrac{FC}{FD}$

$\to FE.FD=FH.FC$

c.Kẻ $OG\perp BC$

$\to G$ là trung điểm $BC$

$\to GB=GC=\dfrac12BC=\dfrac{R\sqrt3}2$

Ta có:

$\sin\widehat{BOG}=\dfrac{BG}{BO}=\dfrac{\sqrt3}2$

$\to \widehat{BOG}=60^o$

$\to \widehat{BAC}=\dfrac12\widehat{BOC}=\widehat{BOG}=60^o$

Vì $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\cos A=\dfrac12$

$\to EF=\dfrac12BC=\dfrac{R\sqrt3}2$