EM THAM KHẢO :

a)

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:

$SA^2 = SH \cdot SB$

$\Rightarrow \dfrac{SH}{SB} = \dfrac{SA^2}{SB^2}$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$

$SB^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2$

$SB^2 = 3a^2$

$\Rightarrow \dfrac{SH}{SB} = \dfrac{2a^2}{3a^2}$

$\Rightarrow \dfrac{SH}{SB} = \dfrac{2}{3}$

b)

Ta có $AD \perp AB$

$AD \perp SA$

$\Rightarrow AD \perp (SAB)$

$\Rightarrow AD \perp SB$

Ta có mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và $(P) \perp SB$

Lại có $AH \perp SB$

$\Rightarrow$ Mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng $(AHD)$

Ta có $AD \parallel BC$

$\Rightarrow (AHD) \cap (SBC) = HM$ với $HM \parallel BC$ ($M \in SC$)

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là tứ giác $ADMH$

Ta có $HM \parallel AD$ (cùng song song với $BC$)

$\Rightarrow ADMH$ là hình thang

Ta có $AD \perp (SAB)$

$\Rightarrow AD \perp AH$

$\Rightarrow ADMH$ là hình thang vuông tại $A$ và $H$

Trong $\Delta SBC$ có $HM \parallel BC$:

$\dfrac{HM}{BC} = \dfrac{SH}{SB} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow HM = \dfrac{2a}{3}$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \dfrac{1}{a^2}$

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{3}{2a^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

Diện tích thiết diện $ADMH$ là:

$S_{ADMH} = \dfrac{1}{2}(AD + HM) \cdot AH$

$S_{ADMH} = \dfrac{1}{2}\left(a + \dfrac{2a}{3}\right) \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

$S_{ADMH} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5a}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$

$S_{ADMH} = \dfrac{5a^2\sqrt{6}}{18}$