Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Điều kiện xác định: } x \ge 0 \text{, vì } x \text{ là số tự nhiên nên } x \in \{0; 1; 2; 3; \dots\} \\
& \text{Biến đổi biểu thức } K \text{:} \\
& K = \dfrac{x - 5}{\sqrt{x} + 3} \\
& K = \dfrac{x - 9 + 4}{\sqrt{x} + 3} \\
& K = \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) + 4}{\sqrt{x} + 3} \\
& K = \sqrt{x} - 3 + \dfrac{4}{\sqrt{x} + 3} \\
& K = (\sqrt{x} + 3) + \dfrac{4}{\sqrt{x} + 3} - 6 \\
& \text{Đặt ẩn phụ } t = \sqrt{x} + 3 \text{. Vì } x \ge 0 \text{ nên } \sqrt{x} \ge 0 \text{, suy ra } t \ge 3 \\
& \text{Khi đó biểu thức trở thành:} \\
& K = t + \dfrac{4}{t} - 6 \\
& \text{Xét hai giá trị } t_1, t_2 \text{ bất kỳ sao cho } 3 \le t_1 < t_2 \text{, ta có hiệu:} \\
& K(t_2) - K(t_1) = (t_2 + \dfrac{4}{t_2} - 6) - (t_1 + \dfrac{4}{t_1} - 6) \\
& K(t_2) - K(t_1) = (t_2 - t_1) + (\dfrac{4}{t_2} - \dfrac{4}{t_1}) \\
& K(t_2) - K(t_1) = (t_2 - t_1) - \dfrac{4(t_2 - t_1)}{t_1 t_2} \\
& K(t_2) - K(t_1) = (t_2 - t_1) \left( 1 - \dfrac{4}{t_1 t_2} \right) \\
& \text{Vì } t_1, t_2 \ge 3 \text{ nên } t_1 t_2 \ge 9 \text{, dẫn đến } \dfrac{4}{t_1 t_2} \le \dfrac{4}{9} < 1 \\
& \text{Do đó } 1 - \dfrac{4}{t_1 t_2} > 0 \text{. Kết hợp với } t_2 - t_1 > 0 \text{, ta được } K(t_2) - K(t_1) > 0 \\
& \text{Như vậy, giá trị của } K \text{ luôn tăng khi } t \text{ tăng với mọi } t \ge 3 \\
& \text{Để } K \text{ đạt giá trị nhỏ nhất thì } t \text{ phải đạt giá trị nhỏ nhất} \\
& \text{Giá trị nhỏ nhất của } t = \sqrt{x} + 3 \text{ tương ứng với } x \text{ nhỏ nhất} \\
& \text{Vì } x \text{ là số tự nhiên nên giá trị nhỏ nhất của } x \text{ là } 0 \\
& \text{Khi đó, giá trị nhỏ nhất của } K \text{ là:} \\
& K = \dfrac{0 - 5}{\sqrt{0} + 3} = - \dfrac{5}{3}
\end{aligned}$