Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi BD là đường phân giác của tam giác ABC.

a) Tính độ dài DA, DC.

b) Tia phân giác của góc C cắt BD tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh góc BIM = 90°

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 `a)`

`ΔABC` vuông tại `A` theo định lý Pythagore ta có `:`

`BC^2` `=` `AB^2` `+` `AC^2`

`BC^2` `=` `36+64`

`BC` `=` `10` `(cm)`

`ΔABC` có `:` `BD` là đường phân giác

`=>` `{AD}/{AB}` `=` `{DC}/{BC}`

ADTCDTSBN

`{AD}/{AB}` `=` `{DC}/{BC}` `=` `{AD+DC}/{AB+BC}` `=` `8/16` `=` `1/2`

`+)` `{AD}/{AB}` `=` `1/2` `=>` `AD` `=` `6` `:` `2` `=` `3` `(cm)`

`+)` `{DC}/{BC}` `=` `1/2` `=>` `DC` `=` `10` `:` `2` `=` `5` `(cm)`

`b)`

Ta có `:` 

`MC` `=` `{BC}/2` `=` `5` `(cm)`

`=>` `DC` `=` `MC`

`ΔICD` và `ΔICM`

`DC` `=` `MC` `(cmt)`

`IC` chung

`\hat{MCI}` `=` `\hat{DCI}` `(` `CI` là phân giác `\hat{ACB}` `)`

`=>` `ΔICD` `=` `ΔICM` `(c-g-c)`

`=>` `\hat{IMC}` `=` `\hat{IDC}` `(` tương ứng `)`

`=>` 180^o` `-` `\hat{IMC}` `=` `180^o` `-` `\hat{IDC}`

`=>` `\hat{BDA}` `=` `\hat{BMI}`

Mặc khác `:` `\hat{BDA}` `+` `\hat{DBA}` `=` `90^o`

Mà `:` `\hat{DBA}` `=` `\hat{MBI}` 

`=>` `\hat{BMI}` `+` `\hat{MBI}` `=` `90^o`

`ΔBIM` có `:` `\hat{BMI}` `+` `\hat{MBI}` `+` `\hat{BIM}` `=` `180^o`

`=>` `\hat{BIM}` `=` `180^o` `-` `90^o` `=` `90^o`