`a)`

`-` Tính `AC:`

Áp dụng định lý Pitago trong `ΔABC` vuông tại `A:`

`AC^2 = BC^2 - AB^2 = 5^2 -  3^2 = 25-9= 16`

`⇒ AC =` $\sqrt{16}$ `= 4 (cm)`

`-` Tính `AH:`

Sử dụng công thức diện tích trong tam giác vuông: `AB · AC = AH · BC`

`AH =` $\dfrac{AB · AC}{BC}$ = $\dfrac{3·4}{5}$ `= 12/5 = 2,4 (cm)`

`-` Tính `BD:`

Vì `AD` là đường phân giác của góc `A` trong `ΔABC`, theo tính chất đường phân giác ta có:

$\dfrac{BD}{CD}$ `=` $\dfrac{AB}{AC}$ `=3/4`

Mà `CD = BC-BD=5-BD`, nên:

$\dfrac{BD}{5-BD}$ `= 3/4 ⇒ 4·BD = 3(5-BD)`

`4 · BD = 15-3·BD⇒7·BD=15`

`⇒BD=15/7≈2,14(cm)`

`b)` Xét `ΔABC` và `HBA` có:

$\widehat{BAC}$ `=` $\widehat{BHA}$ `= 90^o` (do `AH` là đường cao)

$\widehat{B}$ là góc chung

⇒ `ΔABC` $\backsim$ `HBA` (theo trường hợp góc - góc)

`c)` Xét `ΔABC `và `ΔHAC` có:

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{AHC}$ `= 90^o`

$\widehat{C}$ là góc chung

Suy ra `ΔABC` $\backsim$ `ΔHAC` (góc - góc)

Từ tỉ số đồng dạng, ta có:

$\dfrac{AC}{HC}$ `=` $\dfrac{BC}{AC}$

`⇒ AC ·AC=BC·CH⇒AC^2=BC·CH (đpcm)`