long n, ta đều có: (n+1)(n+2)… (2n) chia hết cho 2
Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 3n

Question

Làm hết cho em bài 3 và bài 4ab với ạ. Gấpppp

Calculus123 · Answer

EM THAM KHẢO :
Bài 3.
Xét $n = 0 \Rightarrow 3^0 \le 2^0 + 7.0 \Leftrightarrow 1 \le 1$ (thỏa mãn)
Xét $n = 1 \Rightarrow 3^1 \le 2^1 + 7.1 \Leftrightarrow 3 \le 9$ (thỏa mãn)
Xét $n = 2 \Rightarrow 3^2 \le 2^2 + 7.2 \Leftrightarrow 9 \le 18$ (thỏa mãn)
Xét $n = 3 \Rightarrow 3^3 \le 2^3 + 7.3 \Leftrightarrow 27 \le 29$ (thỏa mãn)
Xét $n \ge 4$, chứng minh  2^n + 7n" data-index-in-node="337">$3^n > 2^n + 7n$ phương pháp quy nạp
Với  2^4 + 7.4 \Leftrightarrow 81 > 44" data-index-in-node="381">$n = 4 \Rightarrow 3^4 > 2^4 + 7.4 \Leftrightarrow 81 > 44$ (đúng)
Giả sử BĐT đúng với $n = k \ge 4$, tức là  2^k + 7k" data-index-in-node="496">$3^k > 2^k + 7k$
Ta có $3^{k+1} = 3.3^k$
 3(2^k + 7k)" data-index-in-node="533">$3^{k+1} > 3(2^k + 7k)$
 3.2^k + 21k" data-index-in-node="567">$3^{k+1} > 3.2^k + 21k$
 2.2^k + 2^k + 7k + 14k" data-index-in-node="605">$3^{k+1} > 2.2^k + 2^k + 7k + 14k$
 2^{k+1} + 7(k+1) + 2^k + 14k - 7" data-index-in-node="654">$3^{k+1} > 2^{k+1} + 7(k+1) + 2^k + 14k - 7$
Vì  0" data-index-in-node="716">$k \ge 4 \Rightarrow 2^k + 14k - 7 > 0$
 2^{k+1} + 7(k+1)" data-index-in-node="754">$\Rightarrow 3^{k+1} > 2^{k+1} + 7(k+1)$
BĐT đúng với $n = k + 1$
 2^n + 7n" data-index-in-node="826">$\Rightarrow 3^n > 2^n + 7n$ với mọi $n \ge 4$
Vậy $n \in \{0; 1; 2; 3\}$
Bài 4.
a)
Với  2.1 + 5 \Leftrightarrow 8 > 7" data-index-in-node="14">$n = 1 \Rightarrow 2^{1+2} > 2.1 + 5 \Leftrightarrow 8 > 7$ (đúng)
Giả sử BĐT đúng với $n = k \ge 1$, tức là  2k + 5" data-index-in-node="129">$2^{k+2} > 2k + 5$
Ta có $2^{k+3} = 2.2^{k+2}$
 2(2k + 5)" data-index-in-node="172">$2^{k+3} > 2(2k + 5)$
 4k + 10" data-index-in-node="204">$2^{k+3} > 4k + 10$
 2k + 7 + 2k + 3" data-index-in-node="238">$2^{k+3} > 2k + 7 + 2k + 3$
 2(k + 1) + 5 + 2k + 3" data-index-in-node="280">$2^{k+3} > 2(k + 1) + 5 + 2k + 3$
Vì  0" data-index-in-node="331">$k \ge 1 \Rightarrow 2k + 3 > 0$
 2(k + 1) + 5" data-index-in-node="362">$\Rightarrow 2^{k+3} > 2(k + 1) + 5$
BĐT đúng với $n = k + 1$
Vậy  2n + 5" data-index-in-node="434">$2^{n+2} > 2n + 5$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
b)
Với  1.(1-1) \Leftrightarrow 1 > 0" data-index-in-node="7">$n = 1 \Rightarrow 3^{1-1} > 1.(1-1) \Leftrightarrow 1 > 0$ (đúng)
Với  2.(2-1) \Leftrightarrow 3 > 2" data-index-in-node="76">$n = 2 \Rightarrow 3^{2-1} > 2.(2-1) \Leftrightarrow 3 > 2$ (đúng)
Giả sử BĐT đúng với $n = k \ge 2$, tức là  k(k-1)" data-index-in-node="191">$3^{k-1} > k(k-1)$
Ta có $3^k = 3.3^{k-1}$
 3k(k-1)" data-index-in-node="230">$ 3^k > 3k(k-1)$
 3k^2 - 3k" data-index-in-node="256">$3^k > 3k^2 - 3k$
 (k^2 + k) + (2k^2 - 4k)" data-index-in-node="288">$ 3^k > (k^2 + k) + (2k^2 - 4k)$
 k(k + 1) + 2k(k - 2)" data-index-in-node="334">$3^k > k(k + 1) + 2k(k - 2)$
Vì $k \ge 2 \Rightarrow 2k(k - 2) \ge 0$
 k(k + 1)" data-index-in-node="416">$\Rightarrow 3^k > k(k + 1)$
BĐT đúng với $n = k + 1$
Vậy  n(n-1)" data-index-in-node="480">$3^{n-1} > n(n-1)$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$

hangbich · Answer

Giải thích các bước giải:
$\begin{aligned}& 	ext{Bài 3:} \& 	ext{Thử với các giá trị } n 	ext{ đầu tiên:} \& n = 0: 3^0 = 1 \le 2^0 + 7 \cdot 0 = 1 	ext{ (Thỏa mãn)} \& n = 1: 3^1 = 3 \le 2^1 + 7 \cdot 1 = 9 	ext{ (Thỏa mãn)} \& n = 2: 3^2 = 9 \le 2^2 + 7 \cdot 2 = 18 	ext{ (Thỏa mãn)} \& n = 3: 3^3 = 27 \le 2^3 + 7 \cdot 3 = 29 	ext{ (Thỏa mãn)} \& n = 4: 3^4 = 81 > 2^4 + 7 \cdot 4 = 44 	ext{ (Không thỏa mãn)} \& 	ext{Dự đoán bất đẳng thức } 3^n > 2^n + 7n 	ext{ đúng với mọi số tự nhiên } n \ge 4 \& 	ext{Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:} \& 	ext{Bước cơ sở: Với } n = 4, 	ext{ ta có } 3^4 = 81 > 44 = 2^4 + 7 \cdot 4 	ext{ (Đúng)} \& 	ext{Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với } n = k \ (k \ge 4), 	ext{ tức là } 3^k > 2^k + 7k \& 	ext{Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với } n = k + 1, 	ext{ tức là } 3^{k+1} > 2^{k+1} + 7(k+1) \& 3^{k+1} = 3 \cdot 3^k \& 3^{k+1} > 3(2^k + 7k) \& 3^{k+1} > 3 \cdot 2^k + 21k \& 3^{k+1} > 2 \cdot 2^k + 2^k + 21k \& 3^{k+1} > 2^{k+1} + 2^k + 21k \& 	ext{Vì } k \ge 4 	ext{ nên } 2^k > 0 	ext{ và } 14k \ge 56 > 7 \& 2^k + 21k = 2^k + 14k + 7k > 0 + 7 + 7k = 7(k+1) \& 2^{k+1} + 2^k + 21k > 2^{k+1} + 7(k+1) \& 3^{k+1} > 2^{k+1} + 7(k+1) \& 	ext{Bất đẳng thức đúng với } n = k + 1 \& 	ext{Kết luận: Các số tự nhiên cần tìm là } n \in \{0; 1; 2; 3\} \& \& 	ext{Bài 4: } \& 	ext{a) } 2^{n+2} > 2n + 5 \& 	ext{Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:} \& 	ext{Bước cơ sở: Với } n = 1, 	ext{ ta có } 2^{1+2} = 8 > 2 \cdot 1 + 5 = 7 	ext{ (Đúng)} \& 	ext{Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với } n = k \ (k \ge 1), 	ext{ tức là } 2^{k+2} > 2k + 5 \& 	ext{Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với } n = k + 1, 	ext{ tức là } 2^{k+3} > 2(k+1) + 5 = 2k + 7 \& 2^{k+3} = 2 \cdot 2^{k+2} \& 2^{k+3} > 2(2k + 5) \& 2^{k+3} > 4k + 10 \& 2^{k+3} > 2k + 7 + 2k + 3 \& 	ext{Vì } k \ge 1 	ext{ nên } 2k + 3 > 0 \& 2k + 7 + 2k + 3 > 2k + 7 \& 2^{k+3} > 2k + 7 \&	o đpcm \& \& 	ext{b) } 3^{n-1} > n(n-1) \& 	ext{Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:} \& 	ext{Bước cơ sở: Với } n = 1, 	ext{ ta có } 3^{1-1} = 1 > 1(1-1) = 0 	ext{ (Đúng)} \& 	ext{Với } n = 2, 	ext{ ta có } 3^{2-1} = 3 > 2(2-1) = 2 	ext{ (Đúng)} \& 	ext{Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với } n = k \ (k \ge 2), 	ext{ tức là } 3^{k-1} > k(k-1) \& 	ext{Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với } n = k + 1, 	ext{ tức là } 3^k > (k+1)k \& 3^k = 3 \cdot 3^{k-1} \& 3^k > 3k(k-1) \& 3^k > 3k^2 - 3k \& 3^k > k^2 + k + 2k^2 - 4k \& 3^k > k(k+1) + 2k(k-2) \& 	ext{Vì } k \ge 2 	ext{ nên } 2k(k-2) \ge 0 \& k(k+1) + 2k(k-2) \ge k(k+1) \& 3^k > k(k+1) \&	o đpcm\end{aligned}$

Làm hết cho em bài 3 và bài 4ab với ạ. Gấpppp

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Làm hết cho em bài 3 và bài 4ab với ạ. Gấpppp

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?