EM THAM KHẢO :

$\widehat{B} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 45^\circ$

Kẻ $CH \perp AB$ tại $H$ ($H$ nằm trên tia đối của tia $AB$)

$\rightarrow \widehat{CAH} = 180^\circ - \widehat{BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, có $\widehat{CAH} = 60^\circ$:

$\rightarrow AC = 2AH$ và $CH = AH\sqrt{3}$

Xét $\Delta BHC$ vuông tại $H$, có $\widehat{B} = 45^\circ$:

$\rightarrow \Delta BHC$ vuông cân tại $H$

$\rightarrow BH = CH$

$\rightarrow AB + AH = AH\sqrt{3}$

$\rightarrow a + AH = AH\sqrt{3}$

$\rightarrow AH(\sqrt{3} - 1) = a$

$\rightarrow AH = \dfrac{a}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{a(\sqrt{3} + 1)}{2}$

$\rightarrow AC = 2AH = a(\sqrt{3} + 1)$

$\rightarrow CH = AH\sqrt{3} = \dfrac{a(3 + \sqrt{3})}{2}$

$\rightarrow BC^2 = BH^2 + CH^2 = 2CH^2 = 2\left[\dfrac{a(3 + \sqrt{3})}{2}\right]^2 = \dfrac{a^2(12 + 6\sqrt{3})}{2} = a^2(6 + 3\sqrt{3})$

Kẻ $DK \parallel AC$ ($K \in AB$)

$\rightarrow \widehat{ADK} = \widehat{CAD} = 60^\circ$

Lại có $AD$ là phân giác $\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{DAK} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

$\rightarrow \Delta ADK$ đều

$\Rightarrow AD = DK = AK$

Theo định lí Thales trong $\Delta ABC$:

$\dfrac{DK}{AC} = \dfrac{BK}{AB}$

$\rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB - AK}{AB}$

$\rightarrow \dfrac{AD}{a(\sqrt{3} + 1)} = \dfrac{a - AD}{a}$

$\rightarrow a \cdot AD = a(\sqrt{3} + 1)(a - AD)$

$\rightarrow a \cdot AD = a^2(\sqrt{3} + 1) - a \cdot AD(\sqrt{3} + 1)$

$\rightarrow AD(2 + \sqrt{3}) = a(\sqrt{3} + 1)$

$\rightarrow AD = \dfrac{a(\sqrt{3} + 1)}{2 + \sqrt{3}} = a(\sqrt{3} - 1)$

Kẻ $DM \perp AB$ tại $M$

Xét $\Delta ADM$ vuông tại $M$, có $\widehat{DAM} = 60^\circ$:

$\rightarrow AD = 2AM$ và $DM = AM\sqrt{3}$

$\rightarrow AM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}$

$\rightarrow DM = \dfrac{a(\sqrt{3} - 1)\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$

Mặt khác:

$BM = AB - AM = a - \dfrac{a(\sqrt{3} - 1)}{2} = \dfrac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$

$\rightarrow BM = DM$

$\rightarrow \Delta BDM$ vuông cân tại $M$

$\rightarrow BD^2 = BM^2 + DM^2 = 2BM^2 = 2\left[\dfrac{a(3 - \sqrt{3})}{2}\right]^2 = \dfrac{a^2(12 - 6\sqrt{3})}{2} = a^2(6 - 3\sqrt{3})$

Do đó:

$\dfrac{1}{BD^2} + \dfrac{1}{BC^2} = \dfrac{1}{a^2(6 - 3\sqrt{3})} + \dfrac{1}{a^2(6 + 3\sqrt{3})}$

$\rightarrow \dfrac{1}{BD^2} + \dfrac{1}{BC^2} = \dfrac{6 + 3\sqrt{3} + 6 - 3\sqrt{3}}{a^2(6 - 3\sqrt{3})(6 + 3\sqrt{3})}$

$\rightarrow \dfrac{1}{BD^2} + \dfrac{1}{BC^2} = \dfrac{12}{a^2(36 - 27)}$

$\rightarrow  \dfrac{1}{BD^2} + \dfrac{1}{BC^2} = \dfrac{12}{9a^2} = \dfrac{4}{3a^2}$