Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AMB,\Delta ANC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AMB}=\widehat{ANC}(=90^o)$

$\to \Delta AMB\sim\Delta ANC(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to \Delta AMN\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{ABC}, \widehat{ANM}=\widehat{ACB}$

Tương tự: $\widehat{CMH}=\widehat{ABC}$

$\to \widehat{AMN}=\widehat{CMH}$

$\to 90^o-\widehat{AMN}=90^o-\widehat{CMH}$

$\to \widehat{BMN}=\widehat{TMH}$

Mà $\widehat{MNB}=180^o-\widehat{ANM}=180^o-\widehat{ACB}=180^o-\widehat{MCH}=360^o-\widehat{TMC}-\widehat{THC}-\widehat{HCM}=\widehat{MTH}$

$\to \Delta MNB\sim\Delta MTH(g.g)$

$\to \dfrac{MB}{MH}=\dfrac{MN}{MT}$

$\to MH.MN=MT.MB$

b.Gọi $D$ là trung điểm $AT$

Ta có: $\Delta ANT,\Delta AMT$ vuông tại $N, M$

$\to DN=DA=DT=\dfrac12AT, DM=DA=DT=\dfrac12AT$

$\to DM=DN$

Vì $\Delta BMC,\Delta BNC$ vuông tại $M, N$ và $I$ là trung điểm $BC$

$\to IN=IB=IC=\dfrac12BC, IM=IB=IC=\dfrac12BC$

$\to IM=IN$

Ta có:

$IM=IN, DM=DN$

$\to I, D\in$ trung trực $MN$

$\to DI$ là trung trực $MN$

$\to ID\perp MN$

Vì $D, I$ là trung điểm $TA, TQ$

$\to DI$ là đường trung bình $\Delta ATQ$

$\to DI//AQ$

$\to AQ\perp MN$

c.Gọi $KT\cap AI=E$

Ta có:

$\widehat{BHA}=\widehat{BNC}(=90^o)$

$\to \Delta BHA\sim\Delta BNC(g.g)$

$\to \dfrac{BH}{BN}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to \Delta BHN\sim\Delta BAC(c.g.c)$

$\to \widehat{BNH}=\widehat{ACB}$

$\to \widehat{BNH}=\widehat{ANM}$

$\to \widehat{KNB}=\widehat{ANM}=\widehat{BNH}$

$\to NB$ là phân giác $\widehat{KNH}$

Mà $NB\perp NC$

$\to NC$ là phân giác ngoài tại $N$ của $\Delta NHK$

Tương tự chứng minh được $HA$ là phân giác $\widehat{NHM}$

Ta có: $IN=IM=IB=IC$

$\to \widehat{IHM}=\widehat{CHM}=\widehat{CAB}$

     $\widehat{IMN}=90^o-\dfrac12\widehat{NIM}=\dfrac12(180^o-\widehat{NIM})=\dfrac12(\widehat{NIB}+\widehat{MIC})=\dfrac12(180^o-2\hat B+180^o-2\hat C)=180^o-\hat B-\hat C=\hat A$

$\to \widehat{IHM}=\widehat{IMN}=\widehat{IMK}$

$\to \Delta IHM\sim\Delta IMK(g.g)$

$\to \dfrac{IH}{IM}=\dfrac{IM}{IK}$

$\to IM^2=IH.IK$

$\to IB^2=IH.IK$

$\to IB^2=IH(HK+HI)$

$\to IB^2=HK.HI+IH^2$

$\to IB^2-IH^2=HK.HI$

$\to (IB-IH)(IB+IH)=HK.HI$

$\to (IB-IH)(IC+IH)=HK.HI$

$\to HB.HC=HK.HI$

$\to HT.HA=HK.HI$

$\to\dfrac{HT}{HK}=\dfrac{HI}{HA}$

Mà $\widehat{KHT}=\widehat{AHI}(=90^o)$

$\to \Delta HKT\sim\Delta HAI(c.g.c)$

$\to \widehat{HKT}=\widehat{HAI}=\widehat{TAE}$

Do $\widehat{KTH}=\widehat{ATE}$

$\to \widehat{THK}=\widehat{AET}$

$\to \widehat{AET}=90^o$

$\to KT\perp AI$